LE AR: AR AS

P,, P,, P,,..., @, Qi, @,..., étant des nombres complexes de &. Or, d’après ce que nous avons montré auS II, ilest certain que, quelque compliquée que soit la forme de ces termes, ils pourront être réduits à une forme telle que celle-ci:

Ki) À; log W ou log W, où » est un nombre entier réel, et W une fonction de la forme

D (A). D'(&A). D (a? A)... gp" (æ"-1 A),

Donc, après la substitution dont nous venons de parler, la forme principale des termes n’est pas altérée; mais les Z — À +- 1 coefficients

RE PE sont remplacés par KÜ) KÔ+H1) KÜÛ+2) KU) M ? n ? EN PPT nj)?

OÙ My, Mis Mae » +) Ny) SOnt des nombres entiers réels. Dans la suite, nous supposerons toujours que cette transformation à été faite; et par conséquent, dans l'équation

LE Alog W,+ 4,108 W,+ 4,108 W,+...,

nous prendrons

KA+2) KV

KA+1) No , . D 1 ny?

OÙ Moy My Maj e + +) My) SOnt des nombres entiers réels.

Jusqu'à présent nous n’avons rien dit sur la forme des fonctions (A), o,(A),..., qui entrent dans la composition de W,, W,,..., et qui sont rationnelles par rapport à æ et A; dans ce qui suit, nous les supposerons réduites à la forme la plus simple, c’est-à-dire

Xo+ XX A+ Ko +. .+ Xp ANT Y >

où X,, X,, X,,..., X,,,, Ÿ sont des fonctions entières de x. De plus, le dénominateur Y se détruit dans la valeur de |

W — p(4).g“(&A).p"(a? A)... og" (&"-'A),

à cause de l’égalité 14+a+ae+... +oa* =);

nous pouvons prendre Y — 1.

Les équations (2), (3), (4) et (6), par l’élimination de

7() ! [14 l } SAME. SCT: CPE K9, nous donnent

LS VE Le DOS SEM CE UN ON HEC CR CE 0 se RC Une SDS NT QE a AL

LR “a.

A—1) Eyes A—1) S Me 04,4 = Sd NA, 6—=0 i=0

i—=0 i=t MA SNA; 4—=0 à i=t Nix A = SN, À;,

où les nombres complexes désignés par M; sont déterminés par les équations (4), qui donnent Æ°, K',K",..., K°%%) en fonction de Æ°°, K4+1 .. KV; les nombres complexes désignés par N° sont inconnus et jouissent, comme nous l’avons vu, de cette propriété que le rapport

reste fini pour toutes les valeurs finies de x; le nombre désigné par p, détermine le degré de la fonction W,. Quant aux quantités n,, n,,..., ce sont des nombres entiers réels, également inconnus.

Or, comme les coefficients

Ni:

À), 4; A3, - 1929 ne peuvent vérifier aucune équation de la forme N,A+N A +N,A+...—0;

N,,N,,N,,..., étant des nombres complexes de x, les équations que nous venons de trouver doivent être identiques par rapport à 4,, 4,, À4,,..., ce qui suppose les égalités suivantes:

nn 0 ! Er ! !' ——. [44 A —1) RCE A—1) uw Min, N, =M,n,, N, = M, | PEER N, = M, N;;

NP NES 0 es IN SR RE i l NÉ enD te Ni 0 pour i— 0, 1, 2,...,/— À, et u=0, N'=—0, N'—=0, N"=—0,

pour à > — À.

D’après cela, en ayant égard au rapport qui existe entre la fonction W'. et les nombres p,, N°, N;",..., nous concluons:

1°. Toutes les fonctions W,,,1, W,,,+, W,\,:,... sont du degréO,

et aucune valeur de x ne peut les reduire à zéro ou à infini.

2°, Pour i=0, 1, 2,...,/—), le degré de W, est Mn,; et la fonction dont le rapport à W reste fini, tant que x n’est pas infini, se présente sous cette forme:

Fe: PM n M; É ; Fe re Le) *.(æ—x") î .(x—x") i TS dé (art) | ;

expression où il ne reste d’inconnu que le nombre entier et réel n..

Telles sont les propriétés des fonctions Po M Mr Mie qui entrent dans l’équation

dx Ld D dolog M, A log W,+ À log W,+...,

quand cette équation se trouve transformée par la méthode que nous avons donnée au $ IV. De plus, les équations (6) nous donnent l'égalité

KÔ+i) À, ——= nj , à étant égal à 0, 1, 2,...,/— À.