S VI

D’après ce que nous venons de trouver. par rapport aux fonctions Win ) L'ART Wiss PER

il n’est pas difficile de s’assurer qu’elles se réduisent à des quantités constantes.

En effet, si la fonction W ne devient ni O0 ni © pour æ — a, l’exposant de x— a dans le premier terme du développement de W, selon les puissances de x — a, doit être zéro. Or, pour

W Les « (A) . (2 (a A) . p* (a? A) e “rs (ar A). cet exposant ($ IL) est égal à la somme

Ninatn +... nm) ol

où n°,n,n",.. ,n°*-1 sont des nombres réels rationnels, désignant le degré de z — a dans les premiers termes du développement de

(A), p(axA), œ(@A),... œ(x*-'A),

et « une racine primitive de l’équation

Or cette somme ne peut se réduire à zéro, à moins qu’on n’ait

11 REPARER ED PIE — m(m—-1).

PT ST 6 ATP ei

c’est-à-dire à moins que le développement de p(A), p(aA), p(aA)..., œ(&— A)

ne contienne dans ses premiers termes la même puissance de &— a; et

alors nous trouvons que pour æ— 4, q et p étant des nombres entiers, le

o (aP A)

g (af A)

Donc, si la fonction W reste finie pour toutes les valeurs finies de x, p (aP A) p (a A)°

De la même manière on parvient à conclure que le sas de la

æ (aP A) e (à)

D’après cela, nous trouvons que le produit

rapport reste fini.

la même chose doit avoir lieu pour la fraction

fonction = est O et, par conséquent, qu’elle reste finie pour æ —

p(aPA) œ(aPa) œ(aPAa) . œ(aPa) (A) œpiaA) œp(x?A) p (am—1A)

reste fini pour toutes les valeurs de x. e Mais ce produit se réduit à ?” = ë

x qui ne depend pas de «; car

, où S est une fonction entière de

S— ? (A).p (&œ A).p (& A)...œp(x"1A) est une fonction cnArIne des racines de l’équation A” — à une fonction entière,

et (A), comme nous avons vu, est une fonction entière de x et A. Quant à ®” (x? A), cette fonction sera évidemment de même forme que ® (A). (Voir $ IV).

Donc, en faisant m P A (7) PE = 4 (a? A),

nous trouvons que %Ÿ (? A) est une fonction déterminée par l'équation

d (x? A) = © + =. A+ À LA: : + Ên A où 5, X5, X;, X,...., X,,, sont des fonctions entières de x, — qui reste finie pour toutes les valeurs de +. Or nous allons prouver que cela ne peut avoir lieu, à moins que tous les termes de la valeur de Ÿ (« A) ne soient constants.

En effet, d’après la valeur de à (& A), pour à << », nous trouvons D (@? A) + @7 D (ar? A) + a D (QT A) +... + ap (a? #1 À) =Mm à A,

et, par conséquent,

è (PA) + at p(@rt A) + a-8 (art 4) +. “3 = m(2" an

5r we aq (m1) (1 (arret A) S

Le premier membre de cette équation étant composé de la fonction à

S tant qu’on ne le suppose pas constant, sera infini ou pour certaines va-

ni LS X;:\mn :

reste fini pour toutes les valeurs de æ; mais le second »°” (&) À",

leurs de x ou bien pour æ— co, selon que la fonction rationnelle »” Al A7 se réduira à une fraction simple ou à une fonction entière.

Donc on ne pourra supposer aucun terme de la fonction 4 («? A) va-

riable, et par conséquent, d’après (7), on aura P (x? A) — C, VS,

où C, est une constante et S une fonction qui ne dépend pas de &. Or, si l’on forme, d’après cette équation, les valeurs des fonctions

p(A), p(æA), p(atA),..., p(x"-'A),

et qu’on les porte dans la formule

on trouve Lta-ta+ pat —1l

W=0,.G.æ...C".S m Mais la somme

hate ts. ;: + 7

se réduit à 0; donc W a une valeur constante.