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FA toutes les

Ayant démontré que dans la valeur de l'intégrale [ fonctions

Win, Win, sant ; 11

ne peuvent être que des constantes, nous en déduisons que les seuls termes variables sont

À log W, À; log W;,. "+1 Ai log Win et comme, d’après (6), les coefficients de ces termes sont de la forme

K@:+) nt ?

où », est un nombre entier, nous concluons que leur nombre ne peut surpasser celui des termes de la série

ALES us Mt différents de zéro.

En remarquant que / est le nombre des racines de l’équation

Fs=—=0, et que

K° — Jim (FE).

se réduit à 0, si le degré de LA est inférieur à — 1, nous parvenons à éta-

blir les théorèmes suivants: Ja

Théorème I. — Soient + une fraction rationnelle, 0x un polynôme

dont les facteurs sont d’un degré moins élevé que m. Si la valeur de l'intégrale

fx dx . . . Né pe fx dx — — me contient que les termes logarithmiques. l'intégrale = — Fo q q ques, q Le

est égale à une somme de termes de la forme suivante:

À log Fe (0x) .o" (a Vux). op (a V0x). a be (a-1 02)

‘où o (Y6x) est une fonction entière de x et Y5x, « est une racine primitive de l’équation g— 1—0;

et le nombre de ces termes, suffisants pour donner la valeur de l'intégrale

£ 2 , ne surpassera pas le degré de F'x, la fonction À — étant d’un 6x Fr V0x degré moindre que — 1; dans le cas contraire, le nombre de ces termes ne surpassera le degré de F'x que d’une unité.

Dans le cas où Fx — 1, le théorème précédent se réduit à celui-ci: Théorème IL. — Les fonctions fx, 0x étant entières, si 0 x ne contient