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fx

que des facteurs de degrés inférieurs à m, l'intégrale [: dx s'exprimant

d’ailleurs par les seuls termes logar ithmiques, sera pre à la formule

A log Lo(Y/0x) .p* Ce V0x).@* (2 Vox). . CSS Cu V0) |

où © (ax) est une fonction entière de x et Yox, et & est une racine primitive de l’équation x” — 1 —0.

Dans le cas de m—2, nous obtenons le théorème d’Abel, cité dans le $ I.

Théorème III. L'intégrale pes dx n'est pas réductible aux fonctions HA

algébrique et logarithmique, si 0x n'a pas de facteur multiple d’un degré plus élevé que m—1, et si la fonction fx est d’un degré moins élevé que

Vox,

En effet, si l’on suppose que [ = dx soit réductible aux fonctions

0x algébrique et logarithmique, d’après le $ 1, on parvient à conclure que sa valeur n’a point de terme algébrique. La Lars chose a lieu par rapport

aux termes logarithmiques; car la différentielle D dx n’a pour dénomi- 6x

nateur que Y#x, et le degré de EL est moins élevé que — 1; mais dans ce

V0x cas, d’après le théorème I, le nombre de termes logarithmiques suffisant pour

donner la valeur de Î dx est 0. Donc, si l’on suppose que l'intégrale 0x [E= dx est réductible aux fonctions algébrique et logarithmique, on sera 0x

forcé de conclure que sa valeur est une constante. Dans le cas de » — 2, cela se réduit au théorème donné par M. Liouville.

$ VII

A l’aide des théorèmes que nous venons de donner, on peut résoudre entièrement la question de l'intégration en termes algébriques et logarithmiques des différentielles bmômes

a (a+ bx°')” dx,

où s, s', s” sont des nombres rationnels.

L'intégrale de ces différentielles se réduit facilement à la forme

[ at (1+ at)" dx,

où p, q, m, m sont des nombres entiers et g > 0, et l’on trouve, par les méthodes connues, la valeur de cette intégrale, si l’une des deux quanti-

m' . . ne tés + Ft est un nombre entier. Dans le cas contraire, cette intégrale

se réduit à la forme

| » à Uy+ Î __—.

(+ ag)"

où U, est une fonction algébrique, p’ est le plus petit nombre positif congru à p selon le module g, et =» le plus petit nombre congru à —»”" selon le module », ce qui suppose

pP<q m'<m.

Puel Pour trouver le terme algébrique dans la valeur de l’intégrale | buse dæx, (1 + 27

5” d’après le $ I, on cherche le plus grand commun diviseur entre les

L , d ï q m'° nn à 1 fonctions (1x2) et HET. Ce diviseur étant (1-2?) , on

conclut que le terme algébrique doit avoir pour dénominateur la fonction A+a" 7.

Mais, en examinant les fonctions

ap (14 291 (+ 29)" —1

EP m”."=1?

où, comme nous avons vu, p <q, m'<m, p > 0, on trouve que leur degré est au-dessous de — 1; ce qui, d’après le $ I, prouve qu’il n’y a pas de terme algébrique dans la valeur de l'intégrale Î at dx. A+anm Donc il ne reste plus qu’à chercher l’expression de sa valeur à l’aide des seuls termes logarithmiques. Mais une telle expression, d’après le $ IL,

n’est possible que dans le cas où le degré de AB ne se trouve pas (1 +ag"

au-dessus de — 1, et, en vertu du dernier théorème que nous venons de

démontrer, ce degré ne doit pas être au dessous de — 1. Par conséquent,

ah dx, à l’aide des termes algébriques et loga-

A+ ag)

l'intégration de

; p'—1 rithmiques n’est pas possible, à moins que la fonction —*——; ne soit A+ ag)" précisément du degré — 1; ce qui entraine cette équation entre les expo-

sants ?, ÊT

ET — q

Mais en passant aux nombres » et »”, dont le premier est congru à p' selon

le module g et le second à—»"" selon le module », nous trouvons que

l'équation précédente suppose que É + — est un nombre entier. Donc, outre ce cas et celui où p est divisible par g, l’intégrale

fa (1+ 49)" dr

représente une transcendante particulière; c’est ce qu’il s’agissait de démontrer pour être sûr que les méthodes ordinaires de l'intégration des différentielles binômes avec les exposants rationnels, comprennent tous les cas où cette intégration est possible en termes algébriques et logarithmiques.