UNE RACINE CARRÉE D'UN POLYNOME DU TROISIÈME OÙ DU QUATRIÈME DEGRÉ

(Mémoires de l’Académie Impériale des sciences de St.-Pétersbourg. Sixième série. Sciences mathématiques et physiques. Tome VI, 1857, p. 203—232.)

(Lu le 20 janvier 1854.)

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Sur l’intégration des différentielles qui contiennent une racine carrée d’un polynôme du troisième ou du quatrième degré.

Dans le Mémoire Sur l'intégration des différentielles irrationnelles, publié en 1853 dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées de M. Liouville, nous avons donné une méthode pour trouver la partie

algébrique de l’intégrale Î a de en la supposant exprimable sous forme 0x

finie, et déterminer séparément tous les termes logarithmiques à l’aide de certaines conditions qu'ils doivent vérifier. A présent, nous allons montrer comment on peut trouver, d’après ces conditions, les termes logarithmiques dans le cas le plus simple et le plus intéressant, savoir, celui où la différentielle contient une racine carrée d’un polynôme du troisième ou du quatrième degré. Faute de méthode générale, on ne connaît que des cas très particuliers, où une pareille différentielle s'intègre sous forme finie; dans plusieurs autres cas, pour lesquels cette intégration a aussi lieu, on n’y parvient qu’en essayant différentes transformations, et le plus souvent on renonce à l’idée de chercher l’integrale après avoir fait beaucoup de tentatives sans succès. Or, d’après nos recherches citées plus haut, les méthodes particulières et les essais de différentes transformations qu’on emploie dans cette intégration, seront remplacés par une méthode gé-

nérale et directe dès qu’on sera parvenu à définir les termes logarithmiques

dans la valeur de [ /° d’après les conditions que FR Vas + Bas + ya? + Où + À

nous avons trouvées pour leur détermination. C’est ce que nous allons faire ici, en donnant la méthode, d’après laquelle la recherche de ces termes se réduit toujours à cette question résolue par Abel:

«Trouver toutes les différentielles de la forme Le, où op et À sont des

«fonctions entières de x, dont les intégrales puissent s’exprimer par une for- «mule de la forme log Pur, (Oeuvres compl. T. I, pag. 33, éd. 1839).

Cette intégration sera donc due à Abel aussi bien par le principe fondamental, d’où nous sommes partis dans nos recherches sur l’intégration des différentielles irrationnelles, que par la méthode de résoudre la question citée, à laquelle se réduit finalement la détermination des termes logarithmiques

d LE dans la valeur de [ <° = . Aïnsi, nos recherches, Fo V at + Bas + ya? + dx + À

comme nous nous plaisons à le croire, rempliront, sous un certain rapport, une lacune qui restait entre les Mémoires de ce grand Géomètre, où il donne la forme générale des intégrales des différentielles algébriques, en tant qu’elles sont possibles sous forme finie, et ceux où ilcherche leur valeur, en faisant une hypothèse particulière.

La réduction de nos équations, dont nous venons de parler, est indispensable aussi pour simplifier l’intégration des différentielles plus compliquées. Quant aux différentielles qui ne contiennent sous le signe du radical carré qu’une fonction du premier ou du second degré, cette réduction conduit immédiatement à trouver la partie logarithmique de leurs intégrales. Outre cela, cette réduction est remarquable par différents résultats relatifs à la nature des intégrales qu’on peut en tirer, et cela nous fournit un rapprochement très intéressant de la construction des valeurs irrationnelles avec la règle et le compas et l'intégration des différentielles sous forme finie, Ainsi on verra que, la somme des nombres n°, n’,n”,.…. étant impaire, l'intégrale

VA A à : wi +... +0) je æ—a Lang Eh À

où nous avons fait pour abréger A(x) = V æt + Ba + ya? + 5x + À, ne peut être exprimée sous forme finie, si d’après les quantités

et à l’aide de la règle et du compas, on ne peut construire aucune des ra-

cines de l’équation dé + Ba + ya + dr + À — 0.

Par exemple, on reconnaît que les intégrales

8 (Qn/ — n0 — (2n'—n D, a+ C d f æ

V ah + 22? — 8x +9 Z, V 24 + 2x? — 8x + 9

dx,

, LES EP PUS APE ri: 2n 8 (2n n n D), 0 f æ—1 æ dr Va + 22? — 8x +9 é