RE. PORC FE APS: RS, PP

les valeurs de x qui rendent ces expressions égales à zéro, et par

f, is for... » Q5 Dis Gare les exposants de

Œ—Q, D —Q, L—Agpe re. | m—$, x—6,, x—6$6,,.....

dans leurs développements suivant les puissances croissantes de ces différences, On aura

V0 V 0 PA = 7 ( — a (5 — a) (ce — cn)

PU TC — BP Ce — BA (a — Ba);

où 7, T, désignent des fonctions qui restent finies pour toutes les valeurs

finies de x.

Mais comme les exposants de &—a,æ—0,,2—0,,.….,2—6,x—f6,, 218, DPVO+ VO PVO —QV0s ms ? v

dans les développements de ne peuvent contenir

1 jme à k d’autres fractions que -, ces équations se réduiront à cette forme

V0 —aqav86 (4) ae RATES Tv Vu, pP 1 el =DNV#,

où w’, v', w, w', sont des fonctions entières, dont les deux dernières ne contiennent que des facteurs simples. Par la multiplication de ces équations nous trouvons

DO — 90 = T,T,uv V' ww, uv

et par conséquent

D? 01 — 9? 62 uv w v V ww' = T, T.

Cette équation prouve évidemment, que 7° 7, est une constante; car, d’après la propriété des fonctions 7°, 7,, leur produit ne devient ni zéro ni infini pour x fini, tandis que cette équation montre que le carré de ZT,

uv u' v’}? w w'

les valeurs finies de x, à noi qu’elle ne se réduise à une constante. Donc

est une fraction rationnelle qui ne peut rester finie pour toutes

Het, et par conséquent l’équation précédente devient

uv u/ v' V ww’

Or cette égalité suppose que ww’ est un carré parfait, et comme les fonctions w, # n’ont que des facteurs simples, cela ne peut avoir lieu à moins qu’on n’ait

D’après cela, en divisant les équations (4) l’une par l’autre, on trouve

PR TA; v u/?

en mettant, pour abréger, 7 à la place de 3 T,°.

Il nous reste maintenant à prouver que si l’on fait

sPVU+aqvVt " D TE NT

la somme de à (w’v') et de la valeur numérique de x — x, sera au-dessous de SV@x. Or, selon que x — 7x, est positif ou négatif, cette somme sera égale à 8 (uv) + rx — "x, ou à à (uw v)—7r+7r,. Nous allons montrer que ces deux quantités sont effectivement plus petites que à V4x, tant que pet q sont déterminés comme nous l’avons dit.

Pour s’en assurer, nous remarquons qu'après la substitution de

5x” et hors à la place de x et r,, ces quantités deviennent A 2

1 PVU—aVE r—r FAC PV0+qV 0 x ô(u Serra era ddl (uv) +8 re vo t |

Mais, d’après l'équation (5), nous trouvons S(uv)= Du PE,

uv

Done, les quantités précédentes sont égales ou inférieures à celles-ci

0 us uv me PVO +4V 0 — 25 y uv a,

uv PVO —QV 0 V uv

Mais la première de ces quantités, par la substitution des valeurs de p et g d’après (3), devient

= S — — nn y pen (OV a) nest

quantité qui est au-dessous de à y4x, tant que , dans la série des fractions

sv

réduites de — 'E est suivie par une fraction dont le dénominateur est

us FL d’un degré plus élevé que VE . Quant à la seconde quantité, nous re-

marquons qu’elle peut être mise sous cette forme

Li L3 PVO—qV 6 —5 2q4V 0 ei 25 V uv M IT Enr «

et par conséquent, qu’elle ne surpasse pas au moins l’une de ces deux valeurs