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V uv y uv
1 Le es 9 52 0 AE 14 /uvü.a 25-22 — Ô V Ux 25. nr
VO, —a V0r 2 Mais comme nous venons de trouver que 2 HE 7° est plus
petit que à V#x, et que nous avons pris g = N, d’un degré moins élevé que
T . . ., 7 ne ,ils’en suit que ces deux quantités sont au-dessous de à VOx.
Ainsi l’on parvient à s’assurer que les valeurs de pet q, déterminées d'après la méthode énoncée, sont effectivement susceptibles de réduire par la substi-
tution
X, + X Vbx US te) P, + Qo V0x X,—XVOx \pV6, —qgvV0) Po — QoV0x
les équations
X,+ XV0x __ u \? X,+X VOX AUS GT ne T(+) DRE
à ces autres
P5+ Q0V0x __ T () P,+ QV0z __
P,—@QVüæ — \v Po Que —(T — M)65
où la somme du degré de «’v', plus la valeur numérique de rx — 7,, est audessous du degré de V6.
Nous montrerons maintenant que cette réduction sera toujours possible, tant que les équations primitives elles mêmes ne remplissent par la condition
Ô (uv) + TT << d y 0%.
Il est facile de remarquer que la détermination de p et g, dont nous venons
de parler, ne suppose que l’existence de deux fractions réduites de
telles que l’une ait pour dénominateur une fonction d’un degré moins élevé U,.æ7 RER À que VS tandis que la suivante à le dénominateur d’un degré plus , uv0,.xT élevé que V ne Or nous verrons, que cela aura toujours lieu, tant que la condition (uv) +7 <Ô VUx n’est pas remplie et que l’on décompose convenablement
la fonction 4x en deux facteurs 2,.0,; savoir: de manière que V ———
soit d’un degré fractionnaire. En effet, dans ces suppositions, le degré de
uv 0,.x7% L ; V -— est au-dessus de zéro et, par conséquent, si l’on commence la
V 0x s— V de 0 0 à y par --, où le dénominateur est du
degré zéro, on est sûr de trouver parmi elles au moins une fraction dont le
série des fractions réduites de
er ‘ Ps RETRO.
dénominateur soit d’un degré moins élevé que VE.
pete ot —
Mais alors dans la série infinie des fractions réduites de —;>— on
trouvera nécessairement deux fractions consécutives telles que l’une a pour
: . . 2 uv 0.2 .
dénominateur une fonction d’un degré moins élevé que Ve tandis
-que le dénominateur de l’autre est d’un degré plus élevé que Pre si
toutefois aucune des fractions réduites de res n’a son dénominateur du
même degré que . Or cela n’aura pas lieu, tant que cette fonction est d’un degré fractionnaire; car, pour @x de degré pair, toutes les fractions
SV réduites de — h — de ne contiennent que les “Re entières
de x, et pour 4x de degré impair, le degré de VE D à Ja forme k +
sy uv
tandis que les degrés fractionnaires de x dans la fonction 1 sont de
la forme k+—.
Nous remarquerons encore que dans la série des fractions réduites de
sy} Si La:
h — ee. on ne rencontrera des puissances fractionnaires de x
qu'après la fraction % , qui sert pour trouver les fonctions p et g. En effet,
les puissances Émis rée de x ne peuvent y entrer que dans > cas où
Ux est de degré impair. Mais alors toutes les fonctions de la forme À x, je
sont évidemment du degré 0 et, par conséquent, x — 0. Or, + étant égal à zéro, d’après ce que nous venons de dire sur la détermination de p et de g, le
uv 0
dénominateur N sera d’un degré moins élevé que V5 -: et avec un tel dé-
nominateur la fraction réduite ne donne, en général, la fonction, d’où elle résulte par le développement en fraction continue, qu'avec une exactitude
jusqu'aux quantités de l’ordre plus élevé que —!— — “#1 — = + ge.
uv 01 3] 0 wo V x V" Mais la partie irrationnelle de 7" est justement de cet ordre.
M Donc, dans ce cas, cette partie n’a aucune influence sur la fraction FL
st
de manière qu’on peut la supprimer dans la formule , et chercher +
par le développement seulement de È en fraction continue.
Nous allons montrer maintenant le parti que l’on peut tirer de la réduction, qui vient d’être exposée, pour la résolution des équations
) SE
X,—XV6x eo X,—XV 6x
dans le cas, où Ux est du 3”° ou du 4**° degré. Après avoir trouvé les fonctions p et q, comme nous l’avons dit, et si l’on fait
X,+X VOX prie) P, + Q0 V0x
on parvient à ces équations
P,+ Q0V0x __ (G) Pot Qo VOX PR Qvoe — (y) 0 Qve UT M)0.
. uw el 1e SN Pour trouver la fonction -;, on divisera p°0,—g*0, par uv. D’après la
méthode qui nous a servi pour trouver les fonctions p et q, il est clair que le quotient de cette division sera d’un degré moins élevé que 4x, et par conséquent, dans le cas de @x du 3*° ou du 4° degré, ce quotient sera, en général, représenté par ax + b. Mais, d’après les équations (5),(6), ce quotient, à un facteur constant près, est égal à w'v'w. Donc, l’une des trois fonctions
sera égale à ax + b, et les autres se réduiront à des constantes, et par conséquent, l’on sera conduit à l’un de ces trois cas
u’ 1 u’ u s + En opera à TAN on ax + b, An à une constante. . . b : . « « Mais en faisant & — — — dans les équations (4), où d’après (6) w'—w,
on voit que le premier cas aura lieu, si cette valeur de x rend
PYU+aVe pp u De 22)
le second, si l’on a
