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plus petit que celui de la valeur imaginaire x qui rendrait infinie ou discontinue au moins une des fonctions

fax), fax), f'(a+x),... fax), fM(a+x),...

C’est ainsi, par exemple, que la série

40e (DH (De.

est convergente ou divergente suivant que le module de la valeur de z est

plus petit ou plus grand que l’unité qui est le module de la valeur z—=V-1

pour laquelle la seconde dérivée et Les suivantes de (1 + x*)? deviennent in-

finies.

Ce théorème n’est qu’une très simple conclusion des découvertes remarquables de Mr. Cauchy; mais il est en partie contraire à la règle de la

convergence des séries donnée par cet illustre Géomètre, dont l’énoncé est le suivant:

«æ designant une variable réelle ou imaginaire, une fonction réelle ou imaginaire de x sera développable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de x, tant que le module de x conserve une valeur in-

férieure à la plus petite de celles pour lesquelles la fonction ou sa dérivée cesse d’être finie et continue» *).

L'’insuffisance de cette règle provient, ce me semble, de ce que Mr. Cauchy suppose la valeur de l'intégrale définie être developpable en série convergente, lorsque la différentielle entre les limites de l'intégration peut

être développée en série convergente; ce qui n’a lieu que dans des cas particuliers.

*) Cauchy. Exercices d'Analyse et de Physique Mathématique. Tome I, page 29.

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DÉMONSTRA TION ÉLÉMENTAIRE