SU), SG) G

ont la plus petite valeur possible.

En effet, comme les fonctions d,(x), d, (x), d,(x),...., à, (æ) sont respectivement des degrés 0, 1, 2...., m, toute fonction entière V du degré »m peut être exprimée ainsi:

V = A4, (x) + By, (x) + CL, (x) +....+ 1H, (x),

Mais ici il faut prendre H— 1, puisqu'on suppose que le coefficient de x” est le même dans V et dans Ÿ,, (x). On aura donc dans cette hypothèse

V = Al, (x) + B4, (x) + CO, (æ) +....+ 4, (x). Il s’agit de trouver les valeurs des coefficients À, B, C, etc., qui ren-

dent un minimum la somme

27 (x) = 3 [AY (x,) + Bd, (x,) + Cl, (x,) +... ..+0, (x) PP (x)

Le procédé connu du calcul différentiel nous donne les équations suivantes:

. [4% (&,) + B4, (x) + Cl, (x) +. +9, (&)140(t,) € (&) = 0,

$ . > LA (&,) + B4, (x) + Cr) +... +4, (m1 4 (&,) (x) — 0,

. Z TA) (x) + B4, (x) + OL, (x) +... + (mb (x) (x) = 0,

DR PEL TR ON EN SE ne NL SU OL OUR 64 18 eee 0e. mn, 04. 6, 9 "1e 0: 81 ©, 6.70 + 6. €

Les équations (5) les réduisent à un seul terme 2A 3 V°(x)@(x)— 0, +—=0 t=n 2B Z 4 (x) (x) = 0, {= 0

d’où l’on tire

Ainsi les conditions du minimum de la somme = °c? (x), quand V

est de la forme

AŸ,(x) + B4, (x) + Cd, (x) +. ...+ 4, (x), sont Ass 0, Be 0 Ce 0 es et, par suite, V = 4, (x).

On démontre encore sans difficulté que si l’on emploie la formule (6)

2 Vote) (à F (D Z da (9 0° (ed F (D Vs A) += W(X)+....

Z vo? (ro 6 (à) Z de (e) (5 i—=0 t—=0 E (ed 0 (0 F(e0) A =; bn (À) 2 Ÿm (œi) 6? (&i) #—=0

à déterminer par approximation une fonction quelconque F(X), on obtiendra pour l’exprimer une fonction entière du degré » telle, que la somme des carrés des différences entre les valeurs de cette fonction entière et les valeurs correspondantes de F(X) pour X = &,, %&,, %,....,%,, multipliés chacun par d(x,), @(x,), (?(x,), etc., respectivement, sera un minimum. Représentons effectivement la fonction cherchéc sous la forme

Ab, (X) + Bd, (X) + CH, (X) +....+ Hb,,(X)

et cherchons les valeurs des coefficients 4, PB, C,...., H pour lesquelles la somme

EL — Abe) — Bla) — Ob(n).… .— Hi (0%)

sera un minimum, Nous trouverons les équations

DSP) — An) — Bi (nr) — Oh (Hi ()] (D 2°) = 0 2 SF (&)— Abe) — By (x) — Ch, (x)...—H4,, (2,)] di (x) 0 (x) = 0, LS EP) — Ab) — BG — Oh (HV, (a da 6°) = 0,

NUS ie SOU ii or ALT eue. Se 2 6» À syN 8 06. S. 4, 6 0 07% re "6 20,0 00 1e 4 09 7.0; 0" 056 À 46-2407 0 À

2 Y[F(x) ve AŸ, (x;) en à 1 (x) rm Ch (x). ca —H4, (x,)] bn (x) (Ca (x) — (0.

En vertu des relations (5), ces équations se réduisent à la forme = 2 # F(œ;) h(&;) 6° (x;) — 24 2 Ÿo (x;) 0° (&;) = 0,

JS F(&)4(x) (x) —2B > 4e (r) (8) —0, #—=0 0

SUTROT TT ELLE LEU NIIN en de L Se re SR unre, 16 70: 6 € S 0 à D. 0:06 °e- 0

i—n IN 2 > F(x,) 4, (x) (x) — 2H 2 Ÿn (x,) (x) = 0, d’où

Zoo 62 (9 F' (D

À Ex * ee : n ?

= de (5) 8 (x) = 0

ZE da (x) 0 (x) F(x)

Z qi? (&i) 02 (x) t—0

ZE Ÿ (x) 6 (5) F(x) C EZ == 0

2 in? (té) 02 (xs)

1=0 En reportant ces valeurs dans l'expression Ah (X) + Bh(X) + Ch, (X) +... + H4,, (2),

nous trouvons, conformément à ce qui a été avancé, que la formule cherchée pour F(X) est précisément

FER | Et 2 Vo(ri) O2 (x;) F'(x5) 2 D (æ5) 6? (5) (x) EE b(X) += b (X) + ha Vo° (x) 02 (x) 2 He 62 (x) 2 2 (x) 6 (x) F'(x;) 2 Vin (æi) 0? (xs) F(œ;) = — LUX)+ .... +=— bd, (X).

2 2 (x) 6? (xs) 2 42, () 0 (xs)