SUR LA CONSTRUCTION

DES CARTES CÉOGRAPHIQUES,

(Bulletin de la classe physico-mathématique de l'Académie Impériale des sciences de St-Pétersbourg, Tome XIV, 1856, p. 257—261.)

(Lu le 18 janvier 1856.)

Sur la construction des cartes géographiques.

Dans la construction des cartes géographiques on parvient facilement à reproduire la figure d’une partie quelconque de la surface du globe de manière qu’il y ait constamment similitude entre ses éléments infiniment petits et leur représentation sur la carte. Mais, le rapport d’agrandissement de différents éléments n’ayant pas la même valeur, les portions finies de la surface du globe, dans leur représentation sur la carte, se déforment plus ou moins, suivant les déviations de ce rapport de sa valeur normale, et comme ces déviations, dans les différents systèmes de tracé des cartes, présentent des valeurs plus ou moins considérables, on conçoit qu’il existe un système, qui, dans la représentation d’une portion donnée de la surface du globe, réduit ces déviations au minimum, et par conséquent représente sa figure le mieux possible.

C’est de la détermination de ce système de tracé des cartes que nous allons nous occuper. La question que nous aurons à résoudre présente une grande analogie avec celles qui ont été l’objet de notre Mémoire, intitulé: Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes (Mémoires des savants étrangers, T. VIT); où nous avons cherché, par un choix convenable des constantes d’une fonction donnée, à diminuer, autant que possible, ses déviations d’une autre fonction pour toutes les valeurs de la variable, comprises entre des limites données. Sous la condition d’un minimum de cette espèce, nous aurons à présent à chercher une fonction à deux variables, assujettie à vérifier une certaine équation aux différentielles partielles. Pour simplifier les formules, nous ne tiendrons pas compte de l’aplatissement de la terre; mais la même méthode peut être facilement étendue à toutes les hypothèses possibles sur la forme du globe.

D'après la notation de Lagrange (Nouveaux Mémoires de l’Académie de Berlin. Année 1779), le rapport d’agrandissement s’exprime ainsi:

di ne ERP ET,

eu + eu

ce qui donne

logm = log [f (u + ÉV —1)] +5 log [EF (u —#V —1)] — log 72

Cas oi - Had

où la somme de deux premiers termes, composés des fonctions arbitraires, n’est évidemment que l'intégrale de cette équation

Done, les écarts du rapport d’agrandissement dépendent des déviations de la fonction log a et de l'intégrale de cette équation. Or, d’après les propriétés remarquables de cette équation, on parvient à reconnaître que le minimum de déviation de son integrale de la fonction log 6)

dans l’espace limité par une courbe quelconque, ne peut avoir lieu, à moins que la différence

n'ait sur cette courbe constamment la même valeur. Donc, par l’intégration de l’équation

sous cette condition, on aura la valeur de 1 1 !

U= log [fu 6y — D] + 3 log [Fu —#y —1)] à une constante arbitraire près, et de là on tirera les valeurs des fonctions

f'(u+iV—1), F'(u—ty —1),

qui, à un facteur constant près, seront celles qui donnent la projection la plus avantageuse. Quant à leur facteur constant, qui reste inconnu, il se détermine facilement d’après la valeur normale du rapport d’agrandissement.

D’après cela on parvient facilement à assigner tous les cas dans lesquels on peut parvenir à la projection de la carte la plus précise, en prenant pour méridiens et les parallèles des ares de cercle. Dans son Mémoire, cité plus haut, Lagrange a montré que dans toutes les méthodes de projection qui jouissent de cette propriété, très importante pour la pratique, le rapport d’agrandissement s’exprime ainsi:

[a e204 + 2 ab cos 2c (t — g) + b? F ;

mm 2

ee"

Donc, d’après ce que nous venons de dire, ces méthodes de projection ne peuvent donner la représentation la plus précise d’un pays quelconque, à moins que sur les bornes de ce pays on n’ait

; k Hide log m — — log { pe [a %+-2ab cos. 2c(-g)+b°e A — constante, ou, ce qui revient au même,

og 2 Jos (get 6-0 V1 be-cu-e (6-0) V1 (1) Log . Barres l8( ) { —log (ae®*< (9) —1 + bet"+c (—9) Lt)

t constante.

Pour simplifier cette équation, nous transformerons les coordonnées, en prenant pour le pôle, le point, où log» devient minimum, et pour premier méridien celui qui passe par le pôle primitif. Soit é#, et 90°—z, la longitude et la latitude de ce point, et convenons de désigner par T'et 90° — Z Ja longitude et la latitude dans le nouveau système des coordonnées. Si l’on observe que, d’après la notation de Lagrange que nous

employons, « désigne log (tang +) 90°— z étant la latitude relativement

au premier pôle, et é la longitude, on parviendra facilement à ces équations très simples:

tang 0 + tang Léry u+t y —1 2 2

e = tang <a V1 — Éd

1— tang o tang À eTv —1

tang 2 +tang & e—Ty —1

PEL ES RC 2 spet '6e VA 45 —1 e — {ang 5e = e ;

1— tang 2 tang £ Pri.i an

En portant ces valeurs dans l’équation (1), et en remarquant que log » devient minimum pour Z = 0, nous trouvons que cette équation, aux quanti-

tés de l’ordre tang* 7 près, devient

1 — 4c° Se sin?

(cos? T— sin? T) tang° - +- tang? : — constante,

et comme dans la projection stéréographique, à une facteur constant près, on à

x — tang Z sinT, y—tang - cos 7, cette équation nous donne

sin? 942 —1 à sin? z9 — 40? + 1 ee æ* + — sin? sin? £,

y = constante.

Donc, si l’on cherche la projection d’un pays assez petit, en prenant pour les méridiens et pour les parallèles des arcs de cercle, la projection ne peut s’approcher notablement de celle de la plus précise, à moins que ses

limites, dans leur projection stéréographique, aux quantités de l’ordre tang® = près, ne vérifient cette équation

sin? Z9 + 4€? — 1 sin? #9 — 42 +1 sin? £, sin?

= HOCT,,

et, par conséquent, ne présentent une courbe du second degré qui sera évidemment une ellipse, car cette courbe doit être fermée. D’après l’équation précédente on voit qu’un des axes de cette ellipse

sin? Z9 — 4 C2 +1 sin? z5+4@2— 1°

Donc, s’il s’agissait de projeter une portion de la surface du globe, limitée par une pareille courbe dont les axes sont en rapport de 1: #»,

l’exposant de projection serait déterminé ainsi:

suit la direction du méridien et que leur rapport est égal à

(2c) ER | MT: pre sin? Z,.

Cette équation nous montre qu’il existe une liaison intime entre la configuration d’un pays et la valeur la plus avantageuse de l’exposant pour sa projection.

D’après les équations dont nous venons de parler, quelle que soit la forme du pays, on peut déterminer et le centre de projection et la valeur de l’exposant de la manière la plus avantageuse pour la précision de sa carte. C’est ce que nous nous proposons de montrer dans un Mémoire détaillé sur la construction des cartes géographiques.