RS
et, par conséquent, qu’elle est inférieure à
o fe +eT\2 n ( 5 r ce qu’il s'agissait de prouver.
Ainsi l’on parvient à reconnaître que la plus grande valeur que peut avoir le module de l’expression
[n sin (x + re 1) + a — x]?
pour æ compris entre a et X, racine de l’équation X—a—nsinX, en
Il en résulte que l’intégrale
est celle-ci:
[l ; aies use je" dx dp,
qui représente le reste de la série en is est au dessous de cette valeur:
LEP exo (ET
Cette limite du reste sera plus ou moins grande selon la valeur de r. Mais comme 7 est tout-à-fait arbitraire, rien n'empêche de le choisir de manière que la limite
(X— a) r" (ET —)
devienne la plus petite possible, et, par conséquent, la plus proche de la vraie valeur du reste. On y parvient, en prenant pour 7 une valeur qui rende minimum l'expression (—) 2r ?
ou, ce qui revient au même, #aximum celle-ci:
2r et +e T°
En dénotant par 4 le maximum de cette expression, on aura pour la limite du reste la valeur
n (X—a) (+), et comme la différence X — a, en vertu de l’équation X—a—n sin X,
ne surpasse pas n, on peut prendre pour cette limite l’expression suivante:
1 (2), ne k (2).
Quant à la valeur de 4, on trouve que le maximum de
2r et +er
a lieu pour r, racine de l’équation
dr 2 (er + er}
[ee —r(e —e")]—= 0,
et que la valeur approchée de ce maximum est 0,66274. Donc k — 0,66274.
$ 4. Pour trouver la limite du reste dans le développement du rayon vecteur, on prendra
F(x)—=1—ncosx, (x) —=sinx,
en supposant toujours que X désigne l’anomalie excentrique, a l’anomalie moyenne et n l’excentricité.
Ces valeurs de F'(x) et o (x), en s’arrêtant dans la série de Lagrange
au terme nt dM—1F/(a)o" (a) DÉS dan—1 ?
donnent pour le reste
1 FER (æ + à) Gsn(c+)+a—x)"] 2H uN Je din ”
où 4 — 0 après les différentiations.
En suivant la même marche que dans le paragraphe précédent, on mettra cette expression sous la forme
F { 2, sin (œ + re? —1) (n ES re en) à ip du. a°0
On commencera la recherche de la limite supérieure du reste, ainsi transformé, par le calcul de la plus grande valeur que peut avoir le module de
n sin (c + re) (nsin (+ re?) +. a — x)" pour æ compris entre a et X, racine de l’équation
X—a—=n sin X.
Or, nous venons de trouver dans le paragraphe précédent, que pour ces valeurs de æ le plus grand module de l'expression
[n sin (x + re) + a—xP
o (+ er MATE "h
et que ce module n’a lieu que pour 4 = a, et, par conséquent, dans le cas où l'expression
est
[n sin (x + rer 1) + a—xP se réduit à [n sin (æ + re —1)P.
er +et
Donc, la valeur v? ( } est la limite des modules de chacune de
ces deux expressions [nsin (@+re) + al, [sin (c+rev1)f.
D'où il suit que le module de sin (&+ re) [nsin (c+ re) + a—x|"
ne peut surpasser
Het He TM ny fe He t\ri 2 2 cs 2
et par conséquent, la valeur de l'intégrale
1 ur n Sin (x + rePV —1) (n sin (x + rePV—1) +a—2) npy—1 É fe [ nn e dyp dx,
qui est le reste de la série en question, doit être au dessous de cette limite:
1 2r ni ee + eT\NHI 91 (= n+1 Re ( —) do (— F.
Cette limite s’approche le plus près de la vraie valeur du reste, quand on prend pour r la valeur qui la réduit à son #inimum, ce qui a lieu pour r déterminé par l’équation
dr
ou
n+1l fe +eT\n 7 n Tr ee | * Ÿ [te —e metro eu il CE j|=0:
Mais on n’augmente pas notablement cette valeur, en prenant pour r
Ja racine de l’équation
(ee ")r—e —e"=0,
qu’on trouve, en faisant dans l’équation précédente » infiniment grand. Avec cette valeur de r l'expression
2r er +e Tr
se réduit à la quantité que nous avons désignée par #, et alors l’expression trouvée de la limite du reste devient
xD).
De plus, comme la différence X— «a ne surpasse pas 1, on peut remplacer cette limite par celle-ci:
mr (2) Le Le (2)
Les limites que nous venons de trouver pour le reste du développe-
ment de l’anomalie excentrique et du rayon vecteur seraient notablement diminuées, si dans l’évaluation de la limite du module de
[n sin (&+ re?) + a—x},
au lieu de remplacer, comme nous l’avons fait dans le $ 3, les expressions
e?r sin p + e—2rsinp ersinp +e-rsinp — + 1, 3 + 1,
ersinp + e-rsinp
— cos (7 cos p),
pour toutes les valeurs de p, par leurs maxima
er He, UE edf 1 ee +e tr 1 D Ne SRE ee DAC dors
on tenait compte de leur diminution, quand sin p s’approche de zéro. Mais malgré cette hypothèse défavorable, les limites trouvées suffisent pour montrer clairement que les développements de l’anomalie excentrique et du rayon vecteur, selon les puissances croissantes de l’excentricité, sont toujours convergents, si la valeur de l’excentricité est inférieure à la limite k—0,66274. C’est ce que Laplace a trouvé le premier et ce que M. Cauchy a démontré par une méthode très ingénieuse. Ces limites suffisent aussi pour prouver que dans ces développements l’erreur est toujours au dessous du rapport de l’excentricité à 0,66274, élevé au degré égal au nombre des termes qu’on relient.
On s’en assurera, si l’on remarque que dans les expressions
L (AT, de Élu
que nous avons trouvées pour ces limites, les facteurs k et kr sont inférieurs à 1; car la valeur de # est 0,66274 etr, racine de l’équation
LH
He —r( —e")—= 0,
est au dessous de 1,2.— En supposant, comme nous l’avons fait, que dans ces développements on arrête la série de Lagrange au terme
1 an 1 F" (a) g" (a) DRE PRE À dan—1 ? si
on trouve » + 1 ou n + 2 termes, selon qu’il s’agit du développement de
l’anomalie excentrique ou du rayon vecteur; car dans le premier cas on prend
Fa)= x,
et dans le second F(x) = 1—ncosx,
ce qui donne un terme de plus.
$& 5. Dans le cas de plusieurs équations simultanées de la forme
X—a—1 (X, Y,Z,....), DUO rZ....) Fe SX ÉZ.::)
te. 1e 1e. ST 0 Ne re À Dre: 9° 0 6-6 Eve
la réduction des intégrales, dont nous nous sommes servis pour trouver la série de Lagrange, conduit directement au développement des fonctions de chacun des inconnus X, Y, Z,.... selon les puissances croissantes n, Ë, ©,.... et donne les restes de ces développements. C’est ce que nous allons montrer à présent sur les deux équations
(3) X—a—np(X, ), (4) F—b—EL(X, Tr};
en cherchant le développement de F(X). | En suivant la marche analogue à celle qui nous a conduit à la série de Lagrange, nous mettons la valeur cherchée F(X) sous la forme
(5) F(X)=F(a)+[ F'(x)de,
et nous réduisons l'intégrale fr (x) dx
d’après la méthode mentionnée, en remplaçant F'(x) par F'(x”). Aïnsi nous trouvons
[F'Gde=fF'(")de = (a + 0) (er) — [IEEE dx,
où C, comme nous le savons, peut être une fonction quelconque de x”. On prendra pour C la valeur — a —19 (2, y),
en supposant que y est fonction de x" déterminée par l’équation (6) y —b—=EY (x", y).
Ainsi pour la valeur de l'intégrale indéfinie / F(x) dx l’on trouve
dx!
Le'@de=(é— ange”, g)) 7 [LEE np EPE G,
En passant à l'intégrale définie
[°F'(a) da, nous remarquons qu’à la limite æ = X, on à
X, pe K, et d’après (4) et (6) = X.
Or pour ces valeurs de +’, x” et y l'expression
en vertu de l’équation (3), devient zéro.
Quant à la limite inférieure de l'intégrale ‘i F'(x) dx, en prenant x’ tes x” A2 a, on trouve que cette expression se réduit à
ue à à (a, Yo) F' (a),
Yo étant la valeur de y pour x = a. — Cette valeur de y, en vertu de (6), sera déterminée par l’équation
(7) Yo — b— EV (a, Yo) Donc, d’après la valeur précédente de Î F'(x) dx il viendra
4 , 7 L (nl LF@dr=nF((a y [Eee PE) Gr
a dx
ou, ce qui revient au même,
Fr @e0 Rp enr,
dx"!
+ nf 7 (ag, (a, 9) dy
En poursuivant la même marche, nous réduisons les intégrales qui sont contenues dans cette valeur de l’intégrale
É F'(x) dr.
En réduisant l’intégrale
d(x!— a— n9 (x, y)) F' (x) [ dx" dx,
nous trouvons
[E —a—np(", y) F7") 7, — d@ —a— np (x, y) F'(x dx" ne 2 dx”
Œ(a'—a—mp(x",y) F’ (x) TT 9 | (dx? dx,
et comme l’expression 4 1!
d’après ce que nous venons de voir, se réduit à O ou à — 19 (a, Y), Selon qu’on fait
x dé x” se X ou
cette équation nous donne
pe (æ'— a— no (x/’,y)) F' (x) De mo n? dF" (a) ®? (a, Yo) : dx! ETS 2 da
d2 (x! — a — n9 (x, y)? F' (x) TÈ if (ax? dx,
ou, ce qui revient au même,
f; d(x'— a— ny (x”, ). F'(x”) de ___n?4F" (a) @? (a, b) s dx" D da
1 pAd? (x — a — np (x, y))? F'(x”) PA | APR dx
1 [F" (a) + (a 9) eg (a 9) dy A da
Passant à l'intégrale
Ê'r(Oe, (au) dy, nous remarquons que la même méthode de réduction, appliquée à l'intégrale
[F'(a)+, (ay) dy, nous donne
SF'(a) 9", (a,y) dy =[F'(a)?', (a, y") dy =(ÿ + C)F'(a)?, (ay) —
d ’ C F' € , {4 [ (y+ C) rt dy,
ce qui devient
[F'(a)?", (a, y) dy = (y —b — Ép(a, y") F'() p(@ 9")
d(y— b—EËV (a,y")) F' (a) ?'y (@y°) — |: dy" ? dy ?
si l’on prend C=—b— Ai (a, y).
Comme l'expression
y —b— ÉY(a, y"), en vertu de (7), se réduit à O pour y —Y"—#%, cette réduction amène
(F9, (av) dy = F'(a) 9", (a, 3) Ep (a,0)
“as & 4F" (a) s'y (a; y") (y' — D — EY (a, y) dy R dy" è
Lorsqu'on substitue ces valeurs des intégrales
dx!'
dF"(x" — a — : Do. , FRE RE gr, (Fe, (a) dy
dans l’expression précédent de
[ F'(a) da,
on trouve pour sa valeur
nP(a)q(a,0+ ÉTAPE + 4 7" (a)v, (ab) Ÿ (ab)
+ ER (a — a — ne", 9) FC ni (a) @ (a, y) ?'y (a, y) dy (dx’"Ÿ? da 9 5 d(y/— db — Eb (a, y”)) F” (a) p'y (a, y”) dy.
dy"
Qi maintenant nous continuons de réduire de la même manière les intégrales de cette valeur de
f. F'(x)dr,
nous trouvons que
SE d2(x'—a— ne (x”, y))? F' (x’’) dx Fe J, F' (a) (a, y) ?'y (a; y) dy é (dx”)? da
Vo 4 (y'— bd — Ep (a, y”)) F' (a) ?'y (a; y”) a à [, dy” dy
se transforme en
mn d?F'(a)93(a,b) sf. Ba —a—nw(",s) Fr") 7 F4 8
