À LA REPRÉSENTATION APPROXIMATIVE DES FONCTIONS

(Mémoires de l’Académie Impériale des sciences de St.-Pétersbourg. Sixième série. Sciences mathématiques et physiques. Tome VII, 1859, p. 199—291.)

(Lu le 9 octobre 1857.)

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Sur les questions de minima qui Se rattachent à la représentation approximative des fonctions.

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$ 1. Tant que la variable x reste dans le voisinage d’une même valeur, on parvient à représenter, par les principes du calcul différentiel, une fonction quelconque f(x), sous une forme donnée, avec la plus grande approximation possible. Ainsi l’on trouve la représentation approximative de f(x), dans le voisinage de x — a, sous la forme d’un polynôme de degré n, en s’arrêtant dans son développement d’après la série de Taylor

f(e) = flo) + fo) + ÈS (0) +.

sous la forme quelconque Z, en égalant à zéro pour x — a la différence f(x) — Z et ses premières dérivées. — S'il ne s’agit que des valeurs de æ qui avoisinent a, ces expressions de f(x) la représentent avec la plus grande précision dont elles soient susceptibles d’après leur forme. Mais cela n’a plus lieu, si la variable x n’est assujettie qu’à rester dans des limites plus ou moins étendues. Dans ce cas les recherches des valeurs approximatives de f(x) demandent des méthodes essentiellement différentes de celles dont nous venons de parler. Comme le degré de précision des valeurs approchées des fonctions se détermine par la limite de leurs erreurs, il est clair que l’on doit prendre pour la représentation de f(x) celle des expressions qui, parmi toutes les autres de même forme, s’écarte le moins de f(x) dans l'intervalle, où l’on cherche sa valeur approchée. Or les expressions approximatives des fonctions, qu’on trouve par les principes du calcul différentiel, ne satisfont jamais à cette condition; elles ne donnent la valeur de f(x)

avec la plus grande précision que dans le voisinage d’une même valeur

au terme

f”(a). On obtient de même la valeur approchée de f(x)

de æ, ou, ce qui revient au même, dans un intervalle infiniment resserré. Par conséquent, lorsque + varie entre les limites plus ou moins étendues, comme cela a lieu dans la pratique, on est obligé de modifier plus ou moins les expressions approximatives de f(x) qu’on trouve d’après les méthodes ordinaires.

$S 2. Dans notre Mémoire intitulé: «Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes» nous avons traité le cas, où l’on cherche l'expression approximative des fonctions sous la forme d’un polynôme et nous avons donné la solution de ce problème:

Trouver les modifications qu'on doit apporter dans la valeur approchée de f(x), donnée par son développement suivant les puissances croissantes de x — a, quand on cherche à rendre minimum la limite de ses erreurs entre x—a—hetx—a+h, h étant une valeur assez petite.

La solution de ce problème procure facilement les éléments des paraléllogrammes qui remplissent les conditions les plus avantageuses pour la précision du jeu de ce mécanisme. Mais en cherchant à résoudre les autres questions de cette espèce, nous sommes parvenu à reconnaître combien il est important d’avoir une méthode générale pour la solution des problèmes analogues à celui que nous indiquons ici, et consistant à déterminer les expressions qui, parmi toutes les autres de même forme, entre deux limites données s’écartent le moins d’une fonction quelconque f(x).

C’est de la solution de pareïls problèmes que nous allons maintenant

nous occuper.

$ 3. Nous commencerons par exposer un théorème général relativement à la solution de ces problèmes, qu’on peut énoncer de la manière suivante :

Etant donnée une fonction quelconque F(x) avec n paramètres arbitraires Pp;, Pe,-...p,, \ S'agit par un choix convenable des valeurs Pis Pas... ...p, de rendre minimum la limite de ses écarts de zéro entre æ—=—h etx—=+h.

Passant aux applications de ce théorème, nous montrerons comment il sert à obtenir les équations qui fournissent la solution du problème, où l’on se propose de représenter des fonctions sous la forme d’un polynôme ou d’une fraction rationnelle. — En définitive, nous montrerons le parti qu’on peut tirer de la résolution de ces équations dans certains cas particuliers, résolution que l’on effectue à l’aide des méthodes analogues à celles dont on se sert dans /’Analyse de Diophante, et qui donne naissance à plusieurs théorèmes algébriques d’un genre tout-à-fait nouveau.

$ 4. Remarquons encore que les cas particuliers, qui seront traités ici, sont très importants pour la solution de ce problème général:

Etant donnée la valeur approchée de f(x), déduite des méthodes ordinaîres, soit sous la forme d’un polynôme, soit sous la forme d’une fraction, trouver les changements qu'il faut faire subir aux coefficients, quand on cherche à rendre minimum la limite de ses erreurs entre x—=a— h et x —=a+h, h étant une valeur assez petite.

Mais nous ne nous arrêterons pas cette fois à ce problème, résolu en partie dans le Mémoire cité plus haut et dont la solution fera l’objet d’un autre Mèmoire.