IT
$ 5. La fonction quelconque F(x), entre les limites æ4— —} et x — + h, ne s’écartera pas de zéro plus que d’une certaine quantité Z, si toutes ses valeurs depuis &— — h jusqu'à 4 = + sont comprises entre — Z, et + L, et que parmi elles il y en ait au moins une égale à + L ou— L. — Supposons que cette valeur de F'(x) réponde à & = x,. Comme F (x), pour toutes les valeurs de æ comprises entre x — —, æ— + h, ne doit pas surpasser + Z, ni devenir inférieure à — Z, il est clair que la valeur æ—#x,, qui réduit F(x) à Æ Z, doit être ou l’une des valeurs de x, pour lesquelles la fonction F(x) devient soit maximum soit D’après cela, et en faisant abstraction du cas où la dérivée F(x)pourx = #, | devient infinie, nous concluons que x, doit vérifier l’une de ces équations
et par conséquent celle-ci
(@— h) (œ+h) F'(x) = 0, ‘ou (x? — 7?) F'(x) = 0.
La même chose aura lieu pour toutes les valeurs de x qui, entre les limites 4 — — k, & — + h, réduisent F'(x) soit à + L, soit à — L, ou, ce qui revient au même, qui vérifient l'équation
D’après cela, en désignant par
Li, Laye À, 18*
les valeurs de x dont nous venons de parler, nous concluons que les équations (1) F(x)= 1, (a—h) F'(x)=0 auront solutions communes
D D, Tape D Où Æ, Ts... -®, SOnt des valeurs réelles, différentes entre elles et comprises entre x——het x = <+h.
C’est en ayant égard à ces solutions communes des équations (1) que nous chercherons à déterminer les valeurs des paramètres p,, p,,....p, de la fonction F(x), pour lesquelles la quantité Z, qui désigne, comme nous l'avons vu, la limite des écarts de F(x) de 0 entre = —h et x —<+h, devient la plus petite possible.
S 6. Pour simplifier ces recherches nous laissons de côté le cas, où F(x) et ses dérivées par rapport à æ, p,, P,,....p, cessent d’être finies et continues entre æ — —h et x — + h, et dans cette hypothèse nous allons établir le théorème suivant:
Théorème 1.
La quantité L qui désigne de combien la fraction F(x) s’écarte de zéro entre x = —h et x — +h, n'est pas réduite à sa plus petite valeur, si le système des équations
TE, + 0 +. + En — 0, 1 1 dF(x), . dF(æ) ar (ay)) (2) D M CS UE dF (x) aF ar Fi À, + Re L+....+ ne À, = 0
n’a pas d’autres solutions que
T3 La, ..®, SOnt des valeurs de x, pour lesquelles la fonction F(x), entre t= —hetx— + h, atteint ses valeurs extrêmes + L et —L; p,, p.,... P, désignent les paramètres arbitraires de F(x).
Démonstration.
Ce théorème découle évidemment des deux propositions suivantes que nous établirons d’abord:
1) Si les équations (2) ne sont possibles qu’autant que À, = 0, 43 —=0,....1,—0, on trouvera des valeurs finies N,, N,....N, satisfaisant aux y. équations
dF(x,) aF(x) Fa) à de N, + F7TE N, +... LT “CRE sr)
dE (t3) dF (x) dF'(æ) UX
(3) mn Mt an Mt ta Na = PE), aF (æy) dE (&y) « dF(y)nar
de N + Re N,+....+ N, = F(a,).
2) Au moyen des valeurs finies N,, N,,....N, qui vérifient les équations (3) on peut assigner un système de valeurs des paramètres p,, p,,....p,, avec lesquelles la fonction F(x), depuis 4——h jusqu’à æ—+h, n’atteint ni la limite + Z, ni la limite — Z, et par conséquent, reste comprise dans des limites plus étroites.
Démonstration de la première proposition.
$ 7. Quand il s’agit d'équations du premier degré, dont les coefficients et les termes connus ont des valeurs finies, on parvient toujours à leur résolution en quantités finies, si toutefois, en les résolvant par une des méthodes usitées, on ne tombe pas sur une équation, où toutes les inconnues disparaissent et le terme connu ne se réduit pas à zéro. Or, si cela se présentait dans la résolution des équations (3), on pourrait les combiner de manière à avoir
Ee N,+ # dF'(æ:) Nr. ED Ki À + Po n
[SE (to) N+ es Ns.+ & - \, | Aie
= Ft) À+F(a,)\+..+F (&,) À;
dE (xy) AE (xy) aF(xy) L dpi MY dPe Nr dPn NA
où toutes les inconnues N,, N,, N,,.....N, disparaissent et le terme Fa)\+F()h +... + FA,
ne s’annule pas, ce qui suppose qu’on parviendrait à vérifier les équations
dF (x;) dF (+3) dF (ty) Vans PL aIOT rente fe dpi le 59 dF (x) dF (xs) Fay) ap À, + 7 À ns. + ap; À, 0,
Fm) + Fm): e JF @u)} = dPn ! Mr Te
sans réduire l’expression Fax) + F(r)h+....+ F(x,) À à zéro, et par conséquent, sans faire h= 0, he dis À 0)
Donc, tant qu’on ne peut vérifier les équations (2) par des valeurs de, À, ...A,, autres que À —0,X,—0,....X,—0, on est certain de trouver des valeurs finies N,, N,,....N, satisfaisant aux équations (3),
ce qu’il s'agissait de prouver.
Démonstration de la seconde proposition.
$ 8. Soit © une quantité positive, infiniment petite, N,, N,,....N, des valeurs finies qui satisfont aux équations (3), F,(x) la valeur que prend
la fonction F'(x) quand on change ses paramètres
Pis Pose Pn en
p, — No, Pa — N0,. a TS D, —N,o.
Comme il ne s’agit que du cas, où la fonction F(x) et ses dérivées par rapport à %, p,, Pa,....p, restent finies et continues pour toutes les valeurs de + comprises entre 4 = —h et x — +h (les seules valeurs de x que nous aurons à considérer), la fonction Æ,(x), qu’on trouve en changeant dans l'expression de F(x) les quantités
Pi Ds,.-..P,
en p —No, m—No,....p, —N,o,
peut être représentée ainsi
dF"( dF' ar 4) E@=F(4)— PEN, + TO Na +. os TON, |o + Ro’,
où R est une fonction de © et de x, qui ne devient pas infinie pour © — 0.
D’après cela il est aisé de montrer que, depuis 4——h jusqu’à æ — + h, la valeur numérique de F(x) reste au-dessous de Z, en supposant bien entendu, que la quantité Z n’est pas nulle, ou, ce qui revient au même, que la fonction F(x), entre x = —h et æ— + h, n’est pas constamment égale à zéro.
Pour s’en assurer nous remarquerons que d’après la formule (4) et en vertu des équations (3) on trouve pour æ =#%,
Fa) = F(a)—F(&x,)6 +0 R = F(x,)(1 — 0) + 0°,
et comme F(x,) d’après (1) se réduit à Æ Z, valeur différente de zéro, et que w, par notre supposition, est une quantité positive infiniment petite, la valeur numérique de cette expression de Æ,(x,) est évidemment au-dessous de Z.
La même chose a lieu, si l’on donne à x une valeur dont la différence avec x, ne surpasse pas une certaine limite finie. — En effet, d’après les équations (1) et (3), pour æ — x, les expressions
dE) x , 4
dE" (x) N dpi
F'(x) dp, N+.. + n
ont la même valeur # Z, autre que zéro, et en vertu de la continuité des fonctions qui composent ces expressions, elles ne peuvent varier brusquement. D’où il suit que dans le voisinage de æ—x, ces expressions auront des valeurs différentes de zéro et de même signe. Mais tant que cela à lieu, l'équation (4), où © est positif et infiniment petit, donne pour # (x) une valeur numériquement au-dessous de Æ(x), et par conséquent au dessous de Z, qui est la limite des valeurs de F(x) entre & = — h et x = +}. On reconnait semblablement que la valeur numérique de E (x) reste inférieure à ZL, si x est dans le voisinage de ces valeurs To, Lys. D.
Il reste à prouver que cela a lieu aussi pour toutes les autres valeurs
de æ, comprises entre z = —hetx— + h. Or,commezx,,x,,... .æ, s0nt les seules valeurs de x pour lesquelles la fonction F(x), entre t——h et x — + h, atteint ses valeurs limites — Z et + Z, et que F,(x) ne diffère de F(x) que par des termes infiniment petits, il est clair, que dans le cas, où æ n'est pas dans le voisinage de x,,x,,....2,, les fonctions Æ,(x) et F(x) ne peuvent s’approcher ensemble infiniment près de — ZL et de + Z, et par conséquent, les valeurs de Æ,(x) seront comprises dans des limites plus étroites.
Aïnsi on parvient à reconnaître que, depuis & — — h jusqu’à & — + h, la fonction Æ(x) qu’on trouve en changeant dans la fonction F(x) les paramètres
Pis Pa, ..p, en | n=Ne 1 Ne,..: 1e,
ne peut atteindre ni la limite +- L, ni la limite — Z, ce qui prouve la proposition.
$ 9. Le théorème que nous venons de donner nous servira pour trouver les équations, qui déterminent les valeurs des paramètres p,, p,,....p, avec lesquelles la fonction F(x) s’écarte le moins de 0 entre 32—=—h et x—+h. On trouverait facilement ces équations, si l’on connaissait d’avance le nombre y, qui désigne combien de fois, depuis t——h jusqu’à x — +, la fonction F(x), avec les paramètres cherchés, atteindra ses valeurs extrêmes — L et + L; et l'incertitude, qui plane ordinairement sur la valeur de ue, produit la principale difficulté des présentes questions de minima. Nous allons montrer maintenant comment on peut toujours lever cette difficulté jusqu’à un certain point, et même complètement dans plusieurs cas spéciaux. Relativement au nombre p il y a deux hypothèses à faire: 1) p surpasse », nombre des paramètres arbitraires de F(x), 2) pm ne surpasse pas . Chacune de ces hypothèses, comme nous verrons plus tard, peut avoir lieu; examinons-les. :
$ 10. Le nombre p. surpasse n. Dans ce cas il n’est pas important de connaître la vraie valeur de &.; car, x étant plus grand que #», la série
HA Lasers D 1 29 [rs
contiendra au moins » + 1 valeurs différentes, et alors d’après le $ 5 les
équations F(x) = L', (x —h?) F'(x) = 0
doivent avoir au moins x +- 1 solutions communes, ce qui entraine n + 1 équations entre » + 1 quantités inconnues, savoir: » paramètres cherchés de F(x) et la quantité Z qui désigne de combien la fonction F'(x) s’écartera de zéro entre les limites: 4— — h,x—<+h. Par la résolution de ces équations on aura toutes ces inconnues, si toutefois on ne tombe pas sur des équations identiques, ce qui ne peut avoir lieu que dans des cas exceptionnels. Nous ne nous arrêterons pas à présent à ces cas particuliers, car ils ne se rencontrent point dans la solution des questions dont nous devrons nous occuper.
Done, si le nombre est plus grand que », on se passera tout-à-fait des équations (2). D’ailleurs, il n’est pas difficile de remarquer que dans ce
cas elles ne donnent rien ni par rapport à L, p,, p,,....9p,, ni par rapport à 4, L3,....2,; Car, p étant plus grand que », le nombre des équations (2) est au-dessous de celui des inconnues X,, À,,....A,. < $ 11. Le nombre p. ne surpasse pas n. Dans ce cas les équations (2),
par l'élimination de 4 inconnues À,, À,,... À, fournissent » — du +- 1 équations entre n + quantités PR:
Pis Pa) AE Ph)
Li, Laye +
D'autre part, en faisant dans les équations (1)
on trouve encore 2x équations entre p,, Po, - . : «Ps Lis Los. .æ, et L. Done, on aura en tout n + + 1 équations entre le même nombre d’inconnues
P;; Pare Du) %;, Baye.) £:
Par la résolution de ces équations on parviendra à déterminer et la quantité L et les paramètres cherchés »,, p,,...p, de la fonction F(x). Mais comme ces équations changent essentiellement avec la valeur du nombre p, et pour embrasser tous les cas possibles, on examinera séparément ces n hypothèses:
les seules possibles à cause de p Zn et p > 0.
$ 12. Tant qu’on ne saura rien d'avance sur le nombre g, on ne pourra connaître les paramètres cherchés de F(x), avec lesquels elle s’écarte le moins de zéro depuis æ = — h jusqu'à &æ — +, qu’en comparant entre
elles les valeurs de Z, trouvées dans les différentes hypothèses sur x, savoir: p>œnetp—1l, 2,....n. Remarquons que l’importance de l’examen de divers systèmes des paramètres entrant dans F(x) et du choix de celui qui donne la solution cherchée tient à la nature de notre problème, où l’on cherche le minimum minimorum de L, ce qui exige qu’on ait les valeurs de tous les minima possibles. Mais souvent on parvient facilement à reconnaître que les équations (2), dans le cas de X,, À,,... À, autres que 0, sont impossibles pour certaines valeurs de 4; alors le nombre des hypothèses possibles sur la valeur de diminue, et par là la solution de notre problème se simplifie notablement.
Un de ces cas, à la fois le plus intéressant et le plus fréquent, est celui, où d’après la nature de la fonction F(x), les équations (2) entrainent
tant que w. ne surpasse pas 1. Alors, suivant le théorème 1, on ne pourra réduire Z à sa plus petite valeur sans faire u >> n, et, comme nous venons de le voir (cas de x > n), la quantité Z et les paramètres cherchés de F(x) seront déterminés par la condition que les équations
aient au moins # + 1 solutions communes. Comme ces solutions sont
nous concluons, en vertu de ce que nous avons vu dans le $ 5 par rapport à ces quantités, que les » + 1 solutions communes de nos équations seront nécessairement inégales et comprises entre 4 = — h et —=+h.
$ 13. Pour montrer le parti que l’on peut tirer de ce que nous avons établi ci-dessus, nous allons examiner spécialement ces trois valeurs de F(æ):
F(a)=pa +pa +... +p, 2+p,— 7,
par ep at 2 +... + Pr ? + On F(x) — A0 © + A, am 4, + An 124 Am | F,
F(&) = pat ppat hr + + op, 1 1& +0, 1 M à Pier E + Prat i+. .. +Pnt+]1
où est une fonction de x qui reste finie et continue, ainsi que ses déri-
vées, depuis æ— — h jusqu'à æ— +h. La solution de notre problème, pour ces trois valeurs de F(x), est d'autant plus importante qu’elle se rattache évidemment à la représentation approximative des fonctions soit sous la forme d’un polynôme, soit sous la forme d’une fraction avec un dénomi-
nateur donné ou arbitraire.
Premier cas.
$ 14. Dans ce cas on parvient facilement à reconnaître que les équa-
tions (2) supposent à, =0, 1,—0,....1, —0,
si (4 ne Surpasse pas ”.
En effet, la différentiation de
F(a)=p,a" +pa" +....+p, ,2+p, —ŸY par rapport à p,, P,....P, 1 D, NOUS donne AF(x) n1 dF(a) ,n—2 dF(a) __. dF(x) D Ut ns 7 Ua 0 js
En vertu de cela, les équations (2) deviennent
MOT RROS TT 45. MN m0, n —2 n—2 n—2 __ M AR + +A,Z, 0, M AM es à +À,2%, = 0, Te à Per +À,=0,
et, en prenant la somme de ces équations, après les avoir multipliées respecti-
vement par les quantités quelconques X,., K,,,....K,, K,, nous obte-
nons
AP(G)+L (x) +,,..+2À,P(x) = 0,
où P(a)=K,
A+ Ka" +... + Kz+kK,.
Or, comme P(x)—K,.2" "+K re din ds +Kz+K,
peut représenter toutes les fonctions entières de degré au-dessous de », on pourra faire |
P(a)=(—x) (22)... (22) = 2 — (++ + cn een ue NL AUOT
si p ne surpasse pas », et pour cette valeur de (x) l’équation précédente devient At — 2%) (&, —2%)....(@ —2,)= 0; d’où résulte À =0,
les quantités #,, &,, 4,,....4, étant toutes différentes entre elles. De la même manière on trouverait
en prenant
Pr) = (x —2x) (5 —2%)....(@—x, ,)
De ce que nous venons de prouver par rapport aux équations (2) dans le cas de F(x)=p,2" "+p,x
+. HD, T+p, — ,
et du $ 12, on déduit ce théorème:
Théorème 2.
Les quantités p,, pa,....p,,,p, étant choisies de manière à ce que la fonction
F(a)=p,2" + pa"
Hs +1 HD, —TY s’écarte le moins possible de zéro depuis x = —h jusqu'à x = nu h, les équations
ont au moins n + 1 solutions communes, différentes entre elles et comprises entre x— —h etx—+h La quantité L désigne la limite des écarts de F(x) de zéro entrex=—h#tx—=+h.
Deuxième cas.
ODA me 2 nil FD F(x) 7 A9 + A al +... .+ Am 12 + Am r.
$ 15. En cherchant à résoudre notre problème pour cette valeur de F(x), on pourra bien se borner au cas, où le dénominateur de la fraction
DL + pa +... + Pn 1 X + Pn m Mm— Aa +. A AN +... + App 1 + Am
ne s’évanouit pas entre æ——h et x—<+h. En effet, d’après la nature du problème, la fraction cherchée doit être nécessairement l’une de celles qui ne cessent d’être finies depuis x — — k jusqu’ à x = + h.
Par conséquent, si son dénominateur
Mm—]1 Ag + A2 +....+ 4, ,2+ 4, contenait des facteurs s’annulant entre & — — h et x — +h, son numérateur à mé n—2 DD EDR FF... FD, TD,
devrait être divisible par tous ces facteurs. En vertu de cela la fraction cherchée serait réductible à la forme plus simple, où le dénominateur est la fonction 4,2" + A%" ‘+....+A4, zx+ A4, dépourvue de tous ses facteurs susceptibles de s’annuler entre & — — h et — +, et le numérateur une fonction de la même forme que
n—1 n2 DU CRT +... Fp..,16p;,
mais de degré inférieur à n — 1 d'autant d'unités qu’on trouve dans la fonction
de facteurs linéaires qui s’évanouissent entre x — — k et x = +h. Ainsi notre problème sur la valeur de
OP 4 po A2 + Pr + Pn F(x) — A0 + À a LE... + An Z + Am Y se réduit toujours au cas, où le dénominateur ne s’annule point entre les
limites & ——h et x — + h. — C’est de ce cas que nous nous occuperons maintenant.
Comme Y, par hypothèse, est une fonction qui reste finie et continue,
ainsi que ses dérivées, entre æ — — h et x —+-h, et que le dénominateur de la fraction
PA PQ + Pr T + Pn
A9 24 A ae... + App Z + Am
ne s’annule pas dans ces limites, il est clair que dans cet intervalle ni la
fonction Re pe +. nl Pa F(x) Aa A alt. ..+ An 12 + An F, ni ses dérivées par rapport à æ, p,, P:,....p, ,p, ne cesseront d’être
finies et continues. Donc, pour cette valeur de F(x) le théorème du $ 6
aura lieu.
D'autre part, on reconnait aisément qu'avec cette valeur de F(x) les équations (2), dans les cas de pm Zn, supposent que
En effet, pour cette valeur de F{(x) et en faisant pour abréger
A2" + 1,2" +....+ 4, .2+ A, = (x), on trouve dF(x): a" dF(x) :. at? dF(x) __æ dÆ(x)__ 1 dpi 7 (x)? dm. nr T lue "dpn1 P(«)? dpn (x)
En vertu de cela, les équations (2) deviennent
À, æn—1 À si ARTE 1% SO ie RU ? (&). ? (&2) (&y) ha? k an 2 LS y Tu? ne (x) ? (&2) (Zu) :
hi À To Ày Gu + ru Mic > = 0 (&) ? (&2) p(œu) j M —+- 2 He. + de — Co] (x) (o] (to) RE dec Ve 0, OU NUL JOUE. JURA Die, . p (æy) 2
où pt), p(&,)....@(x,) sont des valeurs différentes de zéro, car la fonction p(x) = 4,2" + A," +....+ A, 2x+AÀ,,
ne s’annule pas entre æ——h et x—+h, et les valeurs %,,%,,....4,, comme nous l’avons vu ($ 6), sont comprises dans ces limites.
En multipliant les équations précédentes respectivement par les quantités K ile
et prenant leur somme, on a
hPa), LP), MPG ? (x) (&2) ?(æy) ?
où P(a)=K, 2 "+k, 2 + ...+Kz+K,.
En répétant les raisonnements employés dans le premier cas, on conclut que cette équation, où p(x,), o(x,),....p (x) sont des valeurs différentes de 0, entraine À == 0, À, == 0,.:. .À, = 0, tant que s ne surpasse pas n.
C’est pourquoi nous parvenons, comme dans le cas précédent, à ce théorème:
Théorème 3.
Les quantités Pis Pare + «Ph 1r D, Étant choisies de manière à ce que la fonction
ue D pont 24 + Pn 1 + Pn F(x) = A0 + À, a +... + App T + Am r,
depuis x = —h jusqu'à x = + h, s’écarte le moins de zéro, les équations F?(x)— IL? = 0, (& —h) F'(&) = 0
ont au moins n +- 1 solutions communes, différentes entre elles et comprises entre x——h et x = + h. La quantité L est la limite des valeurs de F(x) entrez——hetiz=+h. ;
Troisième cas.
F(x) = ani part op, 1 1 T + Dh 1 OLE Pat +Pnira nl + pt + 1
$ 16. On peut toujours supposer que la fraction
Pi an—l—1 + Po an—1l-2 hs. FD Er T + Dnil
Dole a+ pn pso 2 +. + Pn 2 + 1
est réduite à sa forme la plus simple. Dans cette supposition, et en remarquant que la fraction qui résout notre problème de minimum ne cessera d’étre finie entre x = —}% et x —+h, on conclut que son dénominateur restera différent de zéro entre ces limites, et dans ce cas ni la fonction
F(x) __P an—l-1 + Do Riga De PONS à Pn il: ? + Pn—l 4
pe l 1—1 7 Pn—i43 € + Pn—i+42 2 ++ Pat +1
(ee)
ni ses dérivées par rapport à #, p,, P,,....P, ;, P,, ne peuvent devenir infinies ou discontinues pour les valeurs de + que nous aurons à considérer. Donc, le théorème du $ 6 sera applicable aussi à cette valeur de F(x).
Pour tirer de ce théorème les équations relatives à p,, p,,....p,;, ?,, L, nous commencerons par chercher les valeurs de
dF(x) dF(x) dF(x) dF(x) dpi ? dpe ?""""dpn 1 dpn
D’après l'expression de F(x), et en faisant pour abréger
He ce PU EE M LE GT),
l 11 ou Pa TT FPT Hi FLE 1=o(x),
nous trouvons
dF(x) an-ti 4F(x) an-t2 dF(e) 2 fes 1
dp px) ? dpe (x) ?°‘"""dpn 1 1 px)? dpn 4 o(x)? dF (x) ___æly(x) dF'(x) __aæ1%(e) dF(æ) ___ æ%(x) dF'(x) __ ævy(x) ni P°(&) ? dpn—1+ px) ?dpnx px)? don px)"
Dès lors les équations (2) deviennent
pe) PIS RE RE EI o &) D 0, Lat—t-2 k æon 2 Àu & n—l—2 IE) ne EN PK om à ET À9 To Ày Tu 0 pU&) CA PS D ? Gy) :
| h À À Le AP RATS RS en de LL Rues y) — 0, 4 Ÿ (@1) a? GER À9 D (œe) æ! CE se Àu Ÿ (œu) œyl pe p?(&) P° (Xe) Rae EN p° (æy) ; ton À D (x) œil __L Ÿ (to) HT" NE HE Xu. Ÿ (œu) alt en p?(æ) P? (2) pra De NT __h Ÿ (m1) 2? ___ À2 Ÿ (&2) ? KE DE Au Ÿ (œy) du 0 p? (x) p? (to) er ere 4:10 p? (&y) — , REA D(t)æi À Ÿ (2) de Far Ac) Àu Ÿ (&u) nt 0 g° () Es PE)
Il n’est pas difficile de montrer que ces équations, dans le cas de mn et À, ,,....2, autres que 0, entraînent celles-ci:
où
| Pie = 0 Pytts = 05 + Pnyra = 0, d=n+1—vp.
Pour le prouver, prenons la somme de ces équations après les avoir multipliées respectivement par les facteurs arbitraires
PE SE... 0, ce qui nous donne l P (x) k2 D (&2) Au P (œy) PER ce we) | Tee)
en faisant pour abréger Pa) —=p([B,,,2" "+8 +. +D2+D
Ur EC D +... .... + 0x + Ci].
D’après cette équation on trouverait
comme dans les cas précédents, si par un choix convenable des quantités
ne BE CGns.u OCC dans la valeur de
P(x)=9(x)[B Re Ent VERe + B,x+B,|
n—i—1 n—il—2
—2p(o [Gr "+0, 214... + Oz + C]
on pouvait faire
Po) =(G-2,) (2-0). (02 = (ra. a at.
Pa)=(2-2,) (2-2)... (ox = (a, ++... a a,
D’après cela, pour prouver que les équations (2), dans le cas de << n BAT À. À, autres que 0, entraînent les équations (5), il suffit de montrer que la formule
p(x)[B,;: Te Bi Teste D Arte Bol —2h(x)[0r +0 2e... + C,x + C;]
peut représenter toutes les valeurs de ®(x) mentionnées plus haut, si les équations (5) ne sont pas satisfaites. C’est ce que nous allons faire. Comme la fraction
De) patte pat +, + 1 + Pr 1
p (x) Dr + Dry +. + Pat +1
est irréductible, et que son dénominateur
D) =D, pnT Pn ne He .+p,t+ 1
n’est pas divisible par x, il en résulte que les fonctions @(x) et æŸ (x) sont premières entre elles et, par conséquent, qu’on peut trouver des fonctions M et N satisfaisant à cette équation:
pa) M—xb(x) N=— 1.
D'où nous tirons
P(x)= P (a)? (@&) M — xY (x) N] = pa) [P(@)M— x (x) Q1— x 4% (x) TP (x) N — (x) 01,
Q étant une fonction quelconque. De cette expression de D(x) on conclut qu’elle est représentée par la formule
p(x)[B, ,, "ap ir ES 2 RE TRE ERES B,| —2h(n)[Cr +0 a+... + Oz + C,|,
si toutefois le choix convenable de Q abaisse les degrés des fonctions
PaM—xh(x)Q, PGN—(x)Q
respectivement au-dessous de n —/, . Or, comme nous le verrons tout à l’heure, on y parvient toujours dans le cas où les équations
P=0, PD—=0,....p,—=0
ne sont pas satisfaites, en prenant pour Q le quotient de la division de (x) M par x 4 (x).
En effet, pour cette valeur de Q la fonction
se réduit à À, R étant le reste de la division de P(x) M par æ (x), et par conséquent, elle est de degré inférieur à celui de æŸ (x) ou a, En passant à la valeur de
P(x)N— 9 (x) Q, nous remarquerons que les équations
p@M—apQN=1, Pa M—2p(Q—R donnent 1+ (x) N __DaM—R M OCT rs Te ‘
D'où résulte cette expression de Q:
= EE — R 9 (x) pa Ÿ (æ) (x) , et par là re P(a)+xb(x) P(x) N— Ro(x) ! P(x) |, Re(x) P(x) N— (x) Q—P(x) N— x Ÿ @) ETC TTL
D’après cette valeur de P(x) N — p(x)Q
on reconnaît aisément que son degré sera inférieur à /, tant que les équations
neo p,=0;:.:.p,=0
ne seront pas satisfaites, ou, ce qui revient au même, tant que le degré de la fonction
RAS 28 FR ue DT) = 0,2" me +... +0, 1,0 + D,
surpassera n —l— d— 1, ou u—/— 2, d étant égal à n + 1 — p.
Pour s’en assurer, on remarquera que dans ce cas, la fonction (x) étant seulement de degré pu — 1, le terme Te sera de degré inférieur à m—1—{(pu—1— 1) —7. Quant à l’autre terme de la valeur de
bp R PIN — pr) Q=— +
ms 498 2
il est aussi de degré inférieur à /, car À, comme nous l’avons vu, est de degré inférieur à celui de xd (x), et la fonction |
Te l —1 px) —P,,,,T ne DC M n RÉ as or ne peut pas être de degré plus élevé que L.
Aïnsi nous parvenons à reconnaître que, dans le cas où les équations
P,=0, Pa —0,....p,—0
ne sont pas satisfaites et où Q est le quotient de la division de P (x) M par æ (x), les expressions
PGM—x4(x)Q, PGN—e(x)Q
sont respectivement de degrés inférieurs à » —/ et /, ce qu’il fallait démontrer.
De la même manière on parvient à reconnaître que, dans le cas où les équations
Dai ie E 0, Prise sx 0, Er Pn rsa = 0
ne sont pas satisfaites, les degrés des fonctions
PaM—xY(x)Q, PG)N—o(x) Q
sont respectivement plus petits que » —Z et /, tant qu’on prend pour Q le quotient de la division de (x) N par (x).
En vertu de quoi, comme nous l’avons vu, les équations (2), pour nen'et À, A5, À, autres que zéro, entrainent certainement ces équations
Pi = 0, Pa = 0,... Pa = 0, Dr FF 0, Dn—i42 — 0, RS Pn—1+4 use 0, d=n+1—v%.
D'où découle, d’après le $ 12, le théorème suivant:
Théorème 4.
Les quantités p,, p,,....p, étant choisies de manière à ce que la fonction F(x) as Pi LP se "rase Hs Pnin LH Pal r:
Pn—t4a © + Para. + ne +1
depuis x ——h jusqu'à x = + h, s’écarte le moins possible de zéro, le nombre des diverses solutions communes aux deux équations
et comprises entre x ——h et x —+h ne peut être inférieur à n +1 de d unités, à moins qu’on n'ait
P, = 0, Pe — 0, DOCS 7 om 0, F ‘FPE us 0, Dale — 0,. ne Pat T 0.
La quantité I, est la limite des valeurs de F(x) entre x=— —Rh et x = + h.
Comme chaque racine commune aux deux équations entraîne une relation particulière entre leurs coefficients, il est clair que par ce théorème on obtiendra n + 1 — d équations entre les quantités
Di; Pos... Ph L,
que les fonctions F?(x) — L?,(x—h?) F'(x) contiennent, et comme on a, en même temps,
Pi = 0, Pa —0,....p,—=0, Pa—1-#1 Ne 0, Prise ee 0. 4 Pn—1+à Las 0,
on aura en définitive n+d+1 équations entre les n+ 1 quantités cherchées: p,, m,,... p,, L. D'où il suit que, sauf le cas de d— 0, ces équations ne sauront être satisfaites à moins que les données du problème elles mêmes ne vérifient certaines conditions, ce qui nous porte à conclure que le nombre d ne cesse d’être égal à O que dans des cas exceptionnels, où les quantités comprises dans la fonction Y avec la valeur donnée de k vérifient certaines équations.
Abstraction faite de ces cas, on aura
et alors, suivant le théorème démontré, le nombre des diverses solutions communes aux deux équations
et comprises entre æ = — h et x = + h sera au moins égal à x + 1, comme cela a lieu toujours pour les deux autres valeurs de F{(x) déjà considérées.
$ 17. Pour montrer l'application des théorèmes relatifs aux trois valeurs particulières de F(x) nous chercherons la solution de ces trois problèmes:
1) Quelle est la fonction entière qui, parmi toutes celles de la forme D HP Pa +... HP, T+P,, S’écarte le moins possible de zéro entre les limites x = —h et x — +h?
2) Quelle est la fraction qui, parmi celles de la forme
an + pal + pla 2 +, + pi) œ 4 pli) Lo an—t-14 À; ani, + An—1—2 2 + An :
ayant le même dénominateur Aa" 14 A a" Re VA | s’écarte le moins possible de zéro entre les limites x = —h et x = +R?
3) Quelle est la fraction qui, parmi toutes les autres de la forme
pat plantes +, + pin) + pl —1) pi) gl 4 pile) gli à, + pin) g + pin) ?
entre æ——h ct x —+h s'écarte le moins possible d’un polynôme donné
AT se À AN a TETE RS ES
$ 18. Tous ces problèmes ne sont, évidemment, que des cas particuliers de ceux, dont nous nous sommes occupés dans les $$ 14, 15, 16, et d’après les trois théorèmes démontrés ci-dessus on parvient facilement aux équations qui déterminent leurs solutions. Mais, en passant à la recherche des résultats définitifs, on reconnait tout de suite que les équations qui déterminent les quantités cherchées
Pi Pas ta Pa? Pa
ne peuvent être résolues à l’aide des méthodes connues d’Algèbre, si ce n’est quand le nombre de ces quantités est très limité; car, ces équations étant de forme très compliquée, leur résolution, dans le cas de plusieurs inconnues, demande des calculs tout-à-fait impraticables. Donc, si l’on cherchait à résoudre nos problèmes au moyen de ces équations, on ne saurait aller au-delà d’un petit nombre de cas particuliers qui, pris isolément, ne présentent pas beaucoup d'intérêt. — Nous montrerons dans les paragraphes suivants qu’on peut donner la solution générale de nos problèmes, en les réduisant aux questions d’ Analyse indéterminée.
Nous parviendrons à opérer cette réduction, en observant qu’en vertu des théorèmes démontrés plus haut la solution de ces problèmes est caractérisée par une propriété très simple dont jouit un système de deux équations, composées des fonctions cherchées, et dont l’expression analytique, comme on verra, fournit des équations indéterminées de second degré entre les polynômes cherchés contenus dans les fonctions et certains autres polynômes qui jouent le rôle d’inconnues auxiliaires. C’est à l’aide de ces équations indéterminées que nous obtenons la solution définitive de nos problèmes, solution qu’on ne pouvait trouver à l’aide des méthodes ordinaires d’Algébre.
$ 19. La même méthode peut être avantageusement employée dans plusieurs autres cas et, entr’autres, dans les recherches générales sur la représentation approximative des fonctions, soit sous la forme d’un polynôme, soit sous la forme d’une fraction quelconque, où elle donne la solution du problème mentionné dans le $ 4. C’est ce que nous nous proposons de faire dahs un autre Mémoire, où l’on verra combien la solution des problèmes particuliers, que nous donnerons à présent, est importante pour les recherches générales sur la représentation approximative des fonctions sous une forme rationnelle assignée.
Sur la foncfion qui, parmi celles de la forme
n—1 mn DRE RL HD, .TFD,,
s’écarte le moins possible de zéro entre les limites x — — et x — +.
$ 20. Comme la fonction
DH PA Pl +. HD, TH D,
n’est que la valeur de
PL + Pal" +... ED 240 — FT
pour le cas, où Y——#x", nous concluons, en vertu du théorème 2, que, les coefficients Pis Pose ee Pr Pr
étant choisis de manière à ce que l’expression
F(a)=2" +pat+pa +... HP, T7 +p,
ue.
AN
s’écarte le moins possible de zéro entre x = — h et x — +- h, les équations (6) F(x)—L'=0, (2 — À) F'(x) = 0
ont au moins # +- 1 solutions communes, différentes entre elles. Supposons donc que T—= ZT
soit l’une de ces solutions. Il n’est pas difficile de s’assurer qu’alors l’expression (x? — 7?) (F?(x) — I?)
sera divisible par (x—x,}. En effet, d’après la première des équations précédentes, l'expression (x? — 1?) (F?(x) — I?)
s’annule pour = x,. De plus, comme sa première dérivée est 2 (2°—1) F(x) F'(x) + 2x (F?(x) — L?),
elle se réduira aussi à zéro pour + = x, en vertu des mêmes équations, ce qui nous prouve que l’expression (x? — h?) (F?(x) — L?) est divisible par (x — x,)°.
La même chose a lieu par rapport aux autres solutions, communes
aux équations (6), et comme le nombre de ces solutions, différentes entre elles, n’est pas au-dessous de n + 1, il en résulte que l’expression
(x? — D?) (F%(x) — L') est divisible par n + 1 facteurs différents entre eux (@— 2), (c—x), (c—x),....(æ— x), et, par conséquent, par leur produit (@— 2) (5 — 2) (x —2,)....(&— 2}.
Mais l’expression (x? — 1?) (F%(x) — L?), où
F(x)=2" + pr + pa +... +0, ,1+9,,
n'étant que de degré 2 n + 2, le quotient de la division de cette expression par le produit
@—2) (c—2Ÿ (c—x)....(&—2,) ne peut être qu’une constante. Donc (a) (F(x)—L?) = C(ax—2) (x —2,) (2—2,). .. (a —x,).
Cette équation n'aura lieu, évidemment, que si æ + k et æ—h sont au nombre des facteurs
D — Lo, T— TL, T— y... —X.
Or, si l’on suppose Z—%—=%+h, t— 2, —=7—h, cette équation, divisée par (x + X) (x — h) — x°—h?, devient
F(@) — L'=C(a — D) (œ—2,)....(x —x,), ou
(7) F°(&)—L=(@ — 1h) P°(x), en dénotant par ® (x) la fonction entière VC(x—x;)....(t—2x,).
C’est à l’aide de cette équation que nous trouverons la fonction F(x) qui,
parmi celles de la forme 2" + px" + p,2" *+....+p, ,7+9p,, s’écarte le moins possible de zéro entre x — — h et x — +h. La quantité L, comme nous le savons, détermine la plus grande valeur de cette fonction pour æ comprise entre les limites x = —h et à = +}.
$ 21. Pour trouver la fonction F(x) d’après l'équation (7), remarquons que celle-ci devient
LF(&)— P (2) Va — m] [F(a) + P(x) Vr— m| — LA
et par là
SE + RU SUR l F(a)—® (a) Va FF roresva nv
D'où nous tirons
P(x) Va Ê (x) [F'(&) + D (x) Va? — hi]?
ce qui prouve que la AN Ta est la valeur de Va?—}? exacte
jusqu’aux termes de l’ordre ——— inclusivement.
F@ (&) Mais ceci ne peut avoir lieu que si Fe
vergentes de Vax?—}?, que l’on trouve par son développement en fraction continue. De plus; comme les fonctions F'(x), P (x), en vertu de l’équation (7), sont nécessairement premières entre elles, et que
est l’une des fractions con-
n n—1 er FR)=r Hp U+HRT +r..,. +p, TP,
numérateur est de degré », et que ses parties, à un facteur constant près, sont égales à F(x) et P(x). On aura donc
il est clair que est celle des fractions convergentes de Va?— }? dont le
Fa=Gr, Pa=G@,
en dénotant par Zn celle des fractions convergentes de Va? — }?, dont le
Qn
numérateur est de degré ». Quant à la constante C;, on trouvera sa / valeur, en remarquant que la fonction F(x) doit être de la forme LA HP PA + HP, 1% +P,, et que, par conséquent, le
coefficient de x" doit être égal à 1.
$ 22. D’après le développement de Va?—%? en fraction continue il n’est pas difficile de trouver la série de ses fractions convergentes et, par là, celle que nous avons désignée par En ot qui détermine les fonctions F(x)
Qn et P(x). Mais on peut trouver directement les valeurs des fonctions P, Go
comme nous allons le montrer.
D’après l'identité
(x — Var) (x + Var M) — Je, qu’on vérifie aisément, on à
VE Res He x + Va? —h? 2x+Va?—h— x)
mo ds El
n2 h2 Var — R— x — — ————— = — ge 2x + Va? —hR— x ds. h?
2x + Va? —h?— x
PT Dm — Li din h?
2x+ Var —h— x MT p?
5 __ Va?—h?+x
D'où l’on voit que l'expression Va? — k? se développe en fraction continue
et que le quotient complet est égal à Va? — M2 + x. Donc, en dénotant par
0 Pm- Pm Qi? Q° ""Om—1 Om’
la série des fractions convergentes de
20— 5e Da on à VAR P, (Var +) — RP F Qmm VER +) — RQ"
et par là | os - MP, 0, va)
P.—Q Var —h— ME mi 2
” On x+Va?—h?
Comme
= (v+ Va) (x— Va), cette valeur de P,—Q,, Va? — }? nous donne
P,—Q,Va—h—= (&— Va) (P, — Q,, Va — l),
m—1 ou, ce qui revient au même,
Pn — Qm V2? —h?
= À — Var? > TE 4 hr.
Pi — Qm—1 Va? — h?
En faisant dans cette formule
nous obtenons la série d'équations:
— R— R2 DES CRDP:
Ph QnVx k SE Var —h,
Pn—1 — Qn—a Va? —h?
VND I CT SES Sa terre es eos se 6ve, + re: 6:07"
qui, étant multipliées entre elles, donnent
Pr — Qn Va? =? Re Co PA AE pa)" t, — @) Va? — h?
D'où nous concluons
PQ Va = (Va) (x Va) = (Vas e)",
en remarquant que la première fraction convergente de
est égale à —, et que, par conséquent, P.=x,Q,=1, P,—Q, Va —hR—x— Var — h.
L’équation | P—Q Ver —B=(x— Ve)",
par le changement du signe de Vx?— }?, devient P,+Q,Va— 1 — (x + Va — Hé)", et dès lors nous avons
P (a+ Var he) (x — Var — hè}n
(æ+ Var — h2}— (x — “'alboet 2) 08
2 Va? — h?
D’après cela la fonction cherchée F(x), qui est égale, comme nous l’avons vu ($ 21), à C, P,, s’exprime ainsi:
C (a+ Va? — hi}n+ (x — vx? — hi} 0 ,
Fa ;
Cette valeur de F(x), développée selon les puissances de x, a pour premier terme 2°" C,x", et F'(x) devant être de la forme
D + PA HD +... + PT + Do, il s'ensuit que 2°7*C, = 1. D’où
G = an —1)
et, en portant cette valeur de C, dans l’expression précédente de F(x), nous trouvons définitivement
(8) F(x) — (x-+ Va? — He Va = D
Telle est la valeur de la fonction F(x) qui, parmi celles de la forme +2" +pPA" +....+p,,2+p,, S'écarte le moins possible
de zéro entre x = — h et x = + h.
