VIT

: $ 23. La valeur trouvée de F(x) fournit aisément la limite des écarts de zéro de cette fonction entre 2——% et x — +h, limite que nous avons désignée par L.

En effet, remarquons que l’équation (7), pour x = h, donne

F3(h) — L? = 0, et par là Last EM.

Mais, en faisant « — k dans la valeur trouvée de F(x), on a

pan

donc

D’après cette valeur de Z, et en remarquant que notre fonction F(x) est celle qui, parmi toutes les autres de la forme

DOME PDT Hi HD, TH,

s’écarte le moins de zéro entre 3 = —h et x — + h, nous parvenons à ce théorème :

Théorème 5.

La valeur numérique de la fonction 2" +p,x"" +....+p,, entre

x —— het — +h, ne peut rester inférieure à 2 (2).

$ 24. De ce théorème se déduisent plusieurs autres; nous en indiquerons quelques-uns.

Théorème 6.

Si la fonction f(æ) est de la forme à"+ px" "+....+p,, et que la

différence entre deux valeurs f(a—h), f(a+h) soit inférieure à a(s), la première dérivée de f(x) change de signe entre x —=a—kh etx—=a+h.

Pour le démontrer supposons le contraire, savoir, que f(x) ne change pas de signe entre 4—=a—h etx—a+h. Dans cette supposition, la

fonction

depuis &æ = — } jusqu’à x — + h, ne pourrait être que constamment croissante ou décroissante, et par conséquent, resterait comprise entre ses deux valeurs extrêmes

f(a— 1 SEEN ne Sen

fa + —{e+Df (an | fan) fan)

D'où il suit que sa valeur numérique, depuis æ——À jusqu’à a—h)—f(a+h)

æ = + h, ne surpasserait pas celle de LA et, par conséquent, serait inférieure à 2 (2), cette valeur, d’après l’énoncé du théorème, étant

numériquement plus grande que

fa—h)—fa+rt) 5 F

Mais comme la fonction

est de la forme

n n—1 D HMT +... 4p, .T+FD,,

ceci ne peut avoir lieu en vertu du théorème 5, ce qui prouve le théorème énoncé. |

Théorème 7.

Si la valeur numérique de l'intégrale H É a" + 47" *+....+ K)dx

H — H, n Q Q 37 Q 2 , On trouvera au moins une racine de l’équation

DS 4 est inférieure à — (

hs ANT ES. KO

entre x = H, et x =.

Pour le prouver, nous remarquerons qu’en faisant ONCE CS ....—+X) dx =f(x), H,— a —h,

H—=a+h, on trouve

fa) f@—h=nf x" "+ 4x" *+....+K)dx,

et comme, suivant le théorème, l'intégrale définie

H a" "+ Aa" *+....+ K)dx Ho

22), il en résulte que la valeur

numérique de f(a—h)—f(a—h) est au-dessous de 4 (G) D'où, en remarquant que

fa=nf ea + Aa? +....+K)dx

Fe se. 4 est numériquement inférieure à +

est une fonction de la forme

D HPA +... +p,,

nous concluons en vertu du théorème précédent que l’équation f'a)=n (2 "+ A8 +....+ K)—=0

doit avoir au moins une racine comprise entre a—h=H,,a+h= AH, ce qu’il s'agissait de prouver.

Théorème 8.

Le nombre des variations de signes dans la suite

f@), l'@), f'@,... 1, °° (@), où f(@)=2" + Aa +....+K,

change toujours, quand on passe de la substitution quelconque x = t à celle

en prenant le radical avec

déterminée par la formule x —=t#4 pa +