PAU] AUX

Nous ne traiterons ici que le cas où f(t) et f’(#) sont positives. Mais on reconnaîtra aisément que la même démonstration est applicable à tous

les cas.

le signe contraire à celui de

Pour prouver notre théorème dans le cas où f(é) et f’(#) sont positives, nous allons montrer que, ces valeurs étant au-dessus de zéro, au moins l’une des fonctions

change de signe entre x —t— 4 VÉAU : Ë et x —t. En effet, si les fonctions

f(x), f(x) demeuraient sl Le ces deux limites, la valeur

—4ÿT0)

serait positive etau-dessous de f(x), et par conséquent, la valeur numérique de

> rss Et teé

resterait au-dessous de f(#), ou, ce qui revient au même, au-dessous de

ue ee

Mais cela est inadmissible, car, en vertu du théorème 6, la valeur numérique de la différence

fo—r(s—4ay 5)

ne peut être inférieure à

t—(4—a TP" L ’ “)|

à moins que f(x) ne change de signe dans les limites

M5 at f7 0 ne æ—t—4 16 ? D EN À

Donc, il est certain que dans ces limites au moins l’une des fonctions f(x), f (x) cesse d’être positive.

Comme notre théorème devient évident, si f(x) change de signe entre

xæ—t—4 VS, æ—t, nous n'avons qu'à examiner le cas où, dans ces limites, la fonction f(x) demeure positive et f’(x) change de signe.

Puisque f”(f) est positive, il est clair que dans le cas, où f’(æ) change de signe entre t—{—4 Vie CO & x —t, elle doit passer du négatif au positif. Mais ce changement de signe fera disparaître deux variations de signes dans la suite

car, par hypothèse, f(x) est positive depuis x —t— 4 VS ) ; jusqu "à —t,

et f/(x) ne saurait être négative, quand la fonction f’(x) passe du négatif au positif, ce qui prouve notre théorème.

Dans le cas particulier, où l’équation

n’a que des racines pti le théorème que nous venons d'établir entraîne

celui-ci :

Théorème 9.

Si l'équation

f@)=2" + Aï +....+K—=0

n'a que des racines réelles, quelle que soit la valeur det, on trouvera toujours

je > C4 prenant le radical

An l’une de ses racines entre x—=tetxz—t—4