AUX

avec le signe contraire à celui de

Théorème 410,

Si l'équation 2° + Aa +... .+Jæ+K—0 ne contient que 241 21+1

cru, na 33 /1 des puissances impaires de x, entre les limites — 2 V5 K, +2Y/:Kon trouvera au moins une de ses racines.

En effet, si l'équation

a ue AT es, Li dei es 0

n’avait point de racines entre

z——2YÈ, 2=+2WK,

la même chose aurait lieu pour celle-ci

Éd +AX +....+Jx—K—0,

qu’on trouve, en changeant le signe de x dans l’équation PE Aa TR, , 4 Je RK=#S0,

D'où, en prenant le produit de ces équations, on serait porté à conclure que dans les mêmes limites l’équation

(3 4 Ag ne Ja) — KR? =0

n’a pas de racines. Mais comme la fonction

x + Ag SRE

s’annule pour æ— 0, cela suppose que sa valeur numérique, depuis

a ARS aa L'die k 1 æ——2 Ver jusqu’à 2=+2W; K, reste au-dessous de Æ, ce qui est inadmissible, car, d’après le théorème 5, la fonction de la forme 2l1-1 2l BAS 7:

Un HPpT +....+9,,,, entre ces limites, ne peut rester numéri-

quement au-dessous de

nl VE 9 2V SE ET D'où résulte notre théorème.

Théorème 11.

Si l'équation

PIS MMA + Jz+K—K," = 0

ne contient qu'un terme— K,x* avec la puissance paire de x, et que ce terme soit de signe contraire à celui du terme connu K, on trouvera au

21+1 2141 $ ver a 1 moins une de ses racines entre les limites x = — 2 V= K, & = +- LE. En remarquant que l’équation M pa +... t<JtiK-Kr—0

par le changement de + en —x devient

MSA indé kukK,s —0,

et que ces équations, multipliées entre elles, donnent RE A SPL RE psg

nous concluons, comme dans la démonstration précédente, que cette équation n’aurait point de racines entre

si aucune des racines de l’équation ts AS he eJoeK-K;r—=0

n’était comprise dans ces limites, et par là que la valeur numérique de la

fonction

l és MO Aa lai ).3-W T0)

depuis t = — 2 Vak jusqu'à æ — + 2 34 , resterait au-dessous de celle de K— Ka”. Or cela est évidemment impossible, si l'expression K— K,x” s’annule dans ces limites, la valeur numérique n'étant jamais au-dessous de zéro. — Mais cela ne peut avoir lieu non plus, si dans ces limites l'expression K— K,4”* ne s’annule pas; car dans ce cas, X, et X étant de même signe, la valeur numérique de K—XK,x” reste au-dessous de celle de XÆ, et, d’après ce que nous venons de voir dans la démonstration du théorème précédent, la fonction

Ds ART RTE, dans les limites 2141 21+-1 1 1

ne peut rester numériquement au-dessous de ÆX, et, à plus forte raison, d’une valeur nnmériquement plus petite, ce qui prouve notre théorème.

$ 25. Les théorèmes que nous avons donnés et plusieurs autres de la même espèce ne sont pas les seuls résultats qu’on puisse tirer de la valeur de la fonction entière qui, parmi celles de la même forme, s’écarte le moins possible de zéro entre les limites données. Nous allons montrer maintenant le parti que l’on peut en tirer par rapport à l’interpolation.

Soit f(x) l'expression exacte des valeurs que l’on cherche à représenter approximativement par la fonction entière :

AnDrsUR es. sa.

et