ÉD) CO: 55 LP

les n valeurs de f(x) au moyen desquelles on détermine les coefficients À, B,C,....H de l'expression cherchée de f(x). Comme l’on trouve les coefficients

43, 0:55, en égalant entre elles la fonction f(x) et son expression cherchée

A+Bz+C@+....+Hx),

pour Z—%,, %»,...%,, la différence de ces deux fonctions se réduira à zéro pour toutes ces valeurs de x. Mais d’après cela, tant que la fonction f(æ)et ses dérivées f’(x), f”(x),....f" (x), f® (æ) ne cessent d’être finies et continues dans les limites où sont comprises 4, ,, %,,....4%,, on trouve

f(x)—(4-+B x+Ca+ + = J . D (a— —%,)(2—%)….(t—4%,),

où « est une quantité moyenne entre #, 4, La, +: «4.

$ 26. Comme la différence f(@)—(4+Brz+C+....+Hx) désigne l’erreur de la valeur approchée de f(x) obtenue d’après la formule f@&)=A+Bx+C+....+Hrx,

l'équation précédente nous montre que le degré de précision des valeurs de f(x), qu’on trouve d’après cette formule, ou, ce qui revient au même, d’après l’interpolation, sera plus ou moins grand selon les valeurs de l’expression

ce (x — x.) (x — …. (G—4,).

Puisque cette expression, dans l’étendue où l’on fait l’interpolation, peut atteindre des limites plus ou moins considérable selon les valeurs de D, Toys .%,, il est clair que le degré de précision des valeurs, obtenues par Liatérpolition: dépend non seulement de la nature de la fonction interpolée et du nombre de termes f(x), f(&)....f(x,), dont on se sert pour l’interpolation, mais aussi du choix plus ou moins convenable de ces termes. Plus l'expression

en (4) (@— 2) ....(x—2,)

s'approche de zéro dans les limites de l’interpolation, plus les valeurs

f@), FC): f(@,)

sont avantageuses pour la précision des résultats. Mais comme l’on ne sait rien sur l'expression exacte de la fonction interpolée f(x), et par là sur la relation entre la valeur de f” (&) et celle de x, &,, &3,....x,, il ne reste dans le choix de f(x), f(x)... .f(x,) qu’à chercher à diminuer autant que possible le facteur

entre les limites d’interpolation.

Donc, sous le rapport de la précision des résultats d’interpolation, à tous les systèmes des valeurs de

f@), (ts)... . F(&), on préférera celui dans lequel la fonction (G—%,) (t— 2) ....(x—%,),

entre les limites d’interpolation, s’écarte le moins de zéro, et par conséquent, d’après Le $ 22, on prendra

(x + Va? RM + (œ— Va? hr"

on ?

(z—2,) (t— %,) en re (tx —x,) — s’il s’agit d’interpoler entre les limites Zz—=—h, x— +}.

$ 27. La formule que nous venons d’obtenir nous montre, que les valeurs qu’on doit prendre pour %,, &,,....4,, dans l’interpolation entre les limites 4 = — } et x — + h, sont les » racines de cette équation:

Ce VE (eV 9

on

Or, si l’on fait

æ—h cos,

cette équation devient

cos (np) — 0.

D'où il suit 2k+1 Tite ri

k étant un nombre entier quelconque.

Donc, les » racines de l’équation

Ce Var (o— Var)

on — 0, et, par conséquent, les valeurs de x,, %,,....4, dont nous venons de parler s’expriment ainsi:

T 3x (2n—1l)r (9) hk cos >, h cos 2,....h cos ———.

L'avantage de ces valeurs de x,, &,,....2, sur celles équidistantes

qu’on emploie ordinairement dans l’interpolation, se manifesté très clairement. En effet, d’après le $ 23, dans le cas où

__(&+ Va? — he} + (x — Va? —R2)"

(t—2,) (t—2%)....(œ—2,)— GR 5 le produit (t—x,) (& — x) ....(æ—x,), depuis æ—= — h jusqu’à & = + h, n’atteint que le double de (3), tandis que dans le cas de x,, &,,....42, équidistantes — 3 — 5 == h, 2 = — h, TB = h, so. œ, = —h,

on trouve que le produit (G— x) (G—zx,)....(x—x,)

dans les mêmes limites æ — — h, x — + h, ne reste pas inférieur au ériple h n de (5) . Par exemple, pour n=—=:2;"6514; 8,

on trouve au’avec ces valeurs de %., #,,....%. le produit 12 29 n

dans les limites & — — h, x — + h, atteint les valeurs suivantes: h\2 16/h\8 256/h\1 s(nY 4) 0) a), 2V3().

De plus, en cherchant le maximum maximorum de cette fonction entre

œ—=—h, à —+h, dans le cas de n grand, on trouve pour sa valeur asymptotique l’expression

1 9x /4\nf/h\n log n n \e 27) h \" Fe L où le facteur de (à) tend évidemment vers co, à mesure que le nombre » augmente.

$ 28. Comme la valeur de f(x), dans l’expression de l'erreur d’interpolation dre uit 4) (G—x)....{(x—x,),

reste inconnue, on ne peut se représenter nettement combien on diminue

son Maximum matimorum, entre x——hetx = +h, en remplaçant les valeurs équidistantes æ,, &,,....4, par celles déterminées par les expressions (9). Mais il est facile de s’assurer que, outre le cas exceptionnel, où f(0) = 0, le rapport de maximum maximorum de l'expression

nd) @—4,) .,.,. er et de son facteur (G— 2) (@—x)....(@—2,), qu’on trouve entre = — h et x — + h, en prenant les deux systèmes des valeurs de &%,, æ,,...., dont nous avons parlé, tendent vers la même

limite, à mesure que k s'approche de zéro.

En effet, soient Æ, M les plus grandes valeurs des expressions

(n) ) SG 2) @—2):: .. G—2,) (x —%,) @—x,)....(&—2,), dans le cas où &,, æ,,....4, sont déterminées par (9), et où x reste entre

les limites — h et + h. Comme le rapport

sera compris entre la plus grande et la plus petite des valeurs que peut avoir l’expression

FM (a) 1.2.14n depuis & — —} jusqu’à x — + h, et que « est une quantité restant dans les mêmes limites que &,%,,%,,....4,, qui sont dans le cas actuel —X et +, nous trouvons | E f{")(02)

en désignant par © une valeur comprise entre — 1 et + 1. De la même manière nous obtenons

E' f")(6,h) MT Us

en désignant par Æ', M les plus grandes valeurs des expressions

qu’on trouve entre æ——h et æ — + h, en prenant x, x,,....%, équidistantes, et en désignant par ©, une quantité comprise entre — 1 et +1. Or, en divisant l’une par l’autre les valeurs de

E E' M? M on à à E ,M f")(0#) EM f)(6,n)?

ce qui prouve que le rapport des valeurs

tend vers l’unité, quand X s’approche de zéro et que f (0h), f® (0. h),

pour k — 0, ne s’annulent pas, ce qu’il s’agissait de montrer.

M ST. UC & 9 Nous avons vu que le rapport ;; reste inférieur à =. Donc, en vertu

de ce que nous avons prouvé, il est certain que le rapport outre le cas

E F1) exceptionnel f (0) = 0, sera nécessairement au-dessous de 1, tant que x

sera assez petit.

Sur la fraction qui, parmi toutes celles de la forme

an + plant +, + pli) + pl) AE EE A ae pe A 1

et avec le même dénominateur 4,2" "+ 4,2" *+....+ 4, ,,, s’écarte le moins possible de zéro entre les limites x — — À et x = +.

$ 29. La fraction dont il s’agit peut être mise évidemment sous la forme

p'at—l+plat—2 +... + pin) — an

Aa ie A atl2 st Any Age A a An 7?

et comme cette expression n’est qu’un cas particulier de celle-ci:

Da Hp +... Pn y AN + A a +... + Am ?

que nous avons traitée dans le $ 15, nous concluons du théorème 3, que la

fraction cherchée a + plat 1 +... ,+ pit) » + pr)

que nous dénoterons pour abréger par F(x), doit jouir de cette propriété:

Dans les équations F(x)— 17=0, (2x? —h?) F'(x) = 0

on trouve au moins n + 1 solutions communes, différentes entre elles et comprises dans les limites x = —h, x = +h.

Conformément à ce que nous avons dit dans le $ 15, nous supposons que le dénominateur

n—i—1 n—1—2 A,% + À,% En 27. OR

ne s’annule pas entre = —h et x = +.

$ 30. En faisant pour abréger

2 + pe he Ho Rp TU

PRE ra HT SE Le ALT + À, x He... + À, 7, =,

nous trouvons

an + pad + Hp op) U

Ag Ed at l2s. + 4 7 et par là les équations

| F'(&)—L'—0, (@—h) F'(x)—0 se réduisent à celles-ci:

DL —0, (—h) EE,

D’après cela on reconnaît aisément que, x — x, étant une solution commune des équations

F(x)— L—0, (x?—h) F'(x)= 0, cette valeur de x vérifie aussi les deux équations suivantes:

d(a?— h?) (U2— Lo?) dæ SRE

En effet, la première de ces équations est une conséquence immédiate

de celle-ci:

U?— Lo = 0.

Quant à la seconde, elle se réduit à la forme 2 au d 2 & (U?— IL? v?) + 2 (x — DE) (0% — I?v æ)= 0, où, en vertu de l'équation U?— Jr = 0,

pour æ = %,, le premier terme s’évanouit, et le second, par la substitution de à la place de Z°v, devient

2(&?— h?)U { AU dv (0e — Un)

ce qui sera 0 d’après l'équation aU ,,dv

v — — U— dx dx QE — ) — 5 0,

dont æ — x, est une racine.

Mais tant que æ=— %, vérifie les deux équations (x? — M?) (U?— If v°) = 0,

d (x? — h?) (U? — L? v?) “0 dx Crsr à

la fonction (a? — R?) (U?— L?v°)

a nécessairement pour facteur (œ — x}.

De ce que nous venons de montrer par rapport à la solution commune aux deux équations Ç

il résulte que la propriété de la fraction cherchée . — F(x), énoncée plus haut, suppose que la fonction

(x? — h?) (U° — I? v?) est divisible par les n + 1 facteurs (æ RE To), Œ— &), (x A M), nement = æ,),

OÙ Lo, Li, Laye « « .Æ, SOnt des valeurs inégales et comprises entre x — — h et x — + h. D'où il suit que cette fonction est divisible par le produit

et que ce diviseur n’a point de facteurs communs avec v; car la fonction v, par la supposition, ne s’annule pas entre 42—=—kh et = +, et Toy Lis La + + -%, SOnt comprises dans ces limites.

Mais comme les fonctions U et v sont respectivement de degrés n et n—1l—1, le degré de (2° — A?) (U?— 1}v°) ne peut surpasser celui du produit

et par là le quotient de la division de

(a°— R?) (U? — I? v°) par (— a) (a—2) (@—2) ....(æ—x,} ne peut être qu’une quantité constante. Donc on aura (a?— 1?) (U?— L')—= 0, (x — 2) (x— 2) (— 2) ....(x—ax,Ÿ. Cette équation suppose que deux des facteurs D Dyy D — Un, Day os BU,

sont respectivement égaux à + h, t—h.

Or si l’on fait

L—L—=2%+h, &—%, —=2x—h, cette équation devient

U—Lo= 0, (240) (@—h) (@—2) ....(@—2,

et par là

U? ES IL? 2 = (a° — 1) W?, ou (10) U?— W® (x —h?) = L'v?,

en faisant pour abréger V GO (&—%) . ... @—2x,)= W.

$ 31. C’est d’après l’équation

U?— W°(2—— M) = Low

que nous chercherons la fonction U, désignant, comme nous l’avons vu, le numérateur de la fraction

Ù a+ pat—tl +... + pi) x + pr)

Hi. ARE EL RE An 1 à

qui, parmi toutes les autres de même forme, s’écarte le moins de zéro, depuis z——h jusqu'à æ — +. Nous supposerons qu'après la décomposition de la fonction nd RAT Tr + À — 0 1 . nt en facteurs linéaires on trouve

= 1, (@— o)1 (x — a)? FRE RE

où &,, &,-... sont des valeurs différentes entre elles. Comme la fonction v, par la supposition, ne s’évanouit pas entre &——h et 4—<+h, les quantités &,, æ&,.... ne peuvent avoir d’autres valeurs réelles, que celles qui ne sont pas comprises dans les limites 4 = —h, x = + h. D'autre part, puisque la fonction v est de degré n—l—1 et que v est égale à A,(t— a) (x —a,)?....,0n aura

Enfin, comme | G—R)W= VC, (x—12) (&@—2x,)(x—x) ....(æ—2,),

et que %, %,, %,....4æ, sont des valeurs comprises entre æ——h et æ — + h, la fonction (x? —}?)W ne pourra s’annuler pour 4 — &«;, &,....

$ 32. En passant à la détermination de U d’après l’équation U? — WW? (x — DR) = Lv?, nous commencerons par chercher toutes les solutions de l’équation X?— F2 (x — h?) — Co,

où (x? — }?) Y ne s’annule pas pour æ—«,, &,....,la fonction v étant décomposable en facteurs linéaires de la manière suivante:

Pour y parvenir convenons de désigner par €,, €,.... l’unité prise avec l’un de deux signes +, par P la partie rationnelle de Pérproion

ER rm RE 2)" — 4 &— À 1 a+ h %o— h =) .

ou, ce qui revient au même, de celle-ci:

x —h 4 T+h Pr VE) 6h .erh si a? — h?\h a — h Far t a>— h a+ h ” 3 a 2} °°°"

et par Q Vz? — ? sa partie affectée du facteur irrationnel Va? —h?. D’après cela on trouve

CSN A æ—h æ + h\2u Ve Én [r+evz h (Vi + RE) Eh ta Vrathl | DS ne ru ss SR

els 14: æ—h... x + h\2h æ—h vV= 2 LP QVa = (y V5) (Vs Eu et ces formules, multipliées entre elles, nous donnent

P°— @ = = <=) Se

a—h a+h &— h ao+ h __{ 2h \# 2h \% ” ; dE Es (= r) .…..(@— &) (x — a) Pi.

D'où, en remarquant que le produit

est égal à 4°, à un facteur constant près, nous concluons que les fonctions P et Q ainsi déterminées vérifient cette équation

(13) PQ (a — À) = CH.

De plus, on reconnaît aisément que les fonctions ? et Q 22 = R ne

s’annulent pas pour æ = &,, &,,...., et que leur rapport

ces valeurs de x, se réduit respectivement à €

, pour

P QVa? — 2 TA Pour le mettre en évidence, remarquons que æ — «, réduit à zéro ou

l'expression æ—h F æ+h di — h 1 a+ h ?

+e is + h?

ou l’expression

selon que &, —+1 ou & ——1, et que pour cette valeur de x, aucune des expressions

æ—h r == —e Ps.

Éoh a Lo+ h? &a— À 3 agt+h?"""" ne peut s’annuler, les quantités &,, &,, &,,.... étant inégales entre elles. D'après cela, les formules (12) pour æ — «, donnent ou

P—QVr—h—0, P+QV à — 1? — valeur finie, ou P+QVi-h—=0, P—QV x — 1? — valeur finie,

selon que €, — + 1 ou — 1. Donc, toujours P—e, QVr—h—0, P+e, QV a? — 1 — valeur finie.

Mais d’après ces équations on trouve, évidemment, des valeurs finies

pour P et Q Vx®— h, et la première d’elles donne —"$@, ce qu'il

QVae — 1?

s'agissait de montrer.

$ 33. Il est facile maintenant de trouver toutes les solutions possible de l’équation X2— Y? (x — À) — COe?,

où Y Vx? — h? ne s’annule pas pour 4—%,, &,,.... En premier lieu, remarquons que cette équation, où v— À, (&— a) (x— a). ..., pour = «,, &,,.... donne X?— Y° (x —h) —0 et par là

X=+EYVe RP

et, comme la fonction Y Vx?— X? ne s’annule pas pour t— 4, @&,....,

cela suppose que le rapport pour t—4@,, &,...., doit se ré-

YVa — duire à 1 avec l’un des deux signes Æ+. D’où il suit qu’on n’omettra aucune

solution, en supposant que :

YVa—=h? pour TX — 4, LITE RE se réduit

respectivement à €, €,,...., qui sont égaux à + 1. Cela posé, nous allons montrer que les solutions cherchées de l’équation

(14) X2— 7° (a — M) = CU?

et les fonctions P et Q, déterminées par (12), sont liées entre elles de la manière suivante:

1) Les expressions PX — QY (x? — h?), PY — QX sont divisibles par v?.

2) Les fonctions

vérifient l'équation X?— YŸ (x? — h?) — constante.

En effet, par les équations (13) et (14) on trouve X?= (à —h) + CO, P?— Q@ (2? — À) + CO o?, et en vertu de ces valeurs de X° et Y?, le produit (PX— QE —W)) (PX + QF(a— M) = P? X— Q FE (at — HP)

se réduit à

(7° (& — hè) ns CO v°) (Q° (x? en Rè) + CO v°) LT Q@° F7? (x? — 12)

— COQ (x? — 7?) 0° + CO PE (2? — D?) v° + CO COot, D'où il est clair que le produit (PX—QY (x —1ÿ)) (PX + QY (x —H?))

est divisible par v*.

D'autre part, on reconnaît aisément que le facteur

PX+ QY(@—1#)

ne s’annule pas pour T—=@,, dj, ...

Pour s’en assurer, remarquons que les fonctions

QVa=r, FV hr

ne s’annulent pas pour ces valeurs de x, et tant qu’elles restent différentes de 0, l’expression PX + QY (2° —Jà)

ne peut s’évanouir, à moins qu’on n’ait

PX

Dent = 0 ou, ce qui revient au même,

QU R YVa—h Or, cela ne peut avoir lieu pour 7 —=«,, &,,...., Car nous avons vu que, pour ces valeurs de x, les rapports ! X QV x? — h?? YV a?—h?

se réduisent à «,, €,,...., et, par là leur produit devient £,°, ,2,.... valeurs

‘égales à 1.

Aïnsi on parvient à s’assurer que l'expression PX + QY (2° — là)

ne s’annule pas pour æ—=&@,, &,,...., et, par conséquent, qu’elle n’a point de facteur commun avec la fonction

v— À, (x — a) (x — a)? ..., Mais comme nous venons de trouver que le produit (PX—QY (x —1à)) (PX + QY (x —HÀ))

est divisible par v?, il en résulte que v? divise le facteur PX—Q Y(x°—h?). Il nous reste à montrer que les fonctions

PX—QY(x —h?

we re ),

PY —QX Y, = vérifient l’équation X$ — Y} (x°— 1) = constante.

Or on y parvient très aisément, en remarquant que le produit des équations (13) et (14) peut être mis sous cette forme:

(PX— QY (a —h)) —(PY— QX} (2° —h?) = CO CO ot;

d’où, en divisant par v#, on obtient

PX — QY (x? — mi) + = } (a? — h?) — CO CO,

et par là X — Y (ax? — À) — COCO,

en dénotant par X,, Y, les quotients de la division des fonctions

PX—QY(À—H),, PY—QX par v*.

$ 34. De ce que nous savons sur la relation des fonctions P et ©, déterminées par les formules (12), et les solutions cherchées de l’équation

X?— (x?) = CU v,

il est clair qu’on tirera toutes ces solutions des formules

PX— QY(æ— N°?) X, — Po ;

PY— QX Y, — "3

en prenant pour X, et Y, toutes les fonctions entières propres à vérifier l’équation X?— YF (2° — h?) — constante.

Or, d’après ce que nous avons vu dans le $ 22 par rapport à l’équation F?(x) — P°(x) (2° — À) = L?, on ne pourra vérifier l’équation XS — YŸ (2° — À) — constante, en prenant X, du degré », que par les valeurs de X,, Y, déterminées ainsi:

X, — CP, Y, = G @,; P,+Q, Va —h— (œ+ Va R)", | —— QVr—hR— (@— Ve)",

ou, ce qui revient au même, X,+LVi—h—0C, (œ+ Va —#)", X,— LV —C, (œ— Va)".

D'où il suit qu’on trouvera toutes les solutions possibles de cette équation d’après les formules

Xe RVe— =, (x+ Ve),

XVe 0 (&— Va —R),

en prenant pour l’exposant À un nombre entier quelconque. Nous concluons de là que toutes les solutions cherchées de l’équation

X?— Y'(x —h) = CO

se déterminent par ce système d’équations:

PX—QY(&—N) y PY—QX RS