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ee
X,+ XL, Va—W—0C, (x + Var — Re), XL VMC (x — Va Ti), où P, Q sont des fonctions entières qu’on trouve au moyen des formules (12).
| $ 35. En passant à la recherche des valeurs de X et Y, nous remarquerons que les deux premières équations donnent
de QVa?— 1) (X + Y Var — Last à
X,+ Y, Va — { D se oo om rer)
et, en vertu des deux dernières, ces formules deviennent
CO (x + Va) — Re — en Y V2 — CE D}
GG van) Ce Ge re) 21*
En remplaçant ici, d’après (13), v* par sO
, nous obtenons
0 P? —. Q@? (x? ie h?) P+Q Var 72°
pe 7 (P+ Q di x? —h?) (X— YVx? — h?) X—YVa?—h? CG (x — Var — hi = = CO — Q2 (x? — h?) CE P—Q Van?
D'où résultent ces valeurs de X + Y Var RE ét X— Y Va — h: X+ YVe = (a+ VER) (P+ VF) X— EVER = (Va) (P— QVr TP),
qui, après la substitution des valeurs (12) de P + Q Va — lÿ, P—QVr— à, et faisant
deviennent
BV PV VER = YV- h— C(x-Vr he) (y4 ee VE)" VE 2) Re
Ainsi nous parvenons à déterminer toutes les solutions de l’équation
X2— y? (2° RE 1°) — GO y
où Y Va? — } ne s’annule pas pour t— «,, &,,.... La quantité Cet le et le nombre À sont des constantes arbitraires; €, &,,.... désignent + 1.
$ 36. D’après les solutions trouvées de l’équation APE 7? (a? — T5) pes C0) v”, nous voyons que l'équation
établie par rapport à la fonction cherchée U ($ 30), suppose
DV C (eV) (VE VE VE He) ET 575) (n/a —h x +h Ÿ*"( + h\%
U—W VE =G(a- Va) (VV ES (VE rh Vi) e
et par là
À x —h x +h\2h x —h x +h \2k ne ARE 2) pre noue te ES À (x + Va h h AE hé 1) V£ + ; 1) sais
À Se ee a h2) V= fx y: +h de %æ 2? — h? LE + Fi ir) AE à (x — Va? À æ zh V= +-h \2h æ —h 2 V= +h\2l a +h eh 2Ÿ œ+h), *‘'°
7 Va? — h?
Pour déterminer les valeurs de À et de C; observons que l'expression trouvée de U, étant développée suivant les puissances descendantes de %, donne pour premier terme
2 G(—= + HN" ( ee À arbre, Va—hk Varh Vao—h Va,s+h
et comme la fonction cherchée U est de la forme
De NC AUS MARS TM
D x + p°) il en résulte
Pi Ge (1.
ah Va+h Vas—h Va+h
La première de ces équations, en vertu de (11), nous donne
et en portant cette valeur de À dans la dernière, on en tire
Li l ( 1 € }" 1 Eo }” : a 2 Re sir Vu—h Vaith Voy—h Vayth
D’après cela Les expressions précédentes de U et W deviennent Phi z+h24r PA lle x +h 2h
U—( 2 1 €] 1 C7 3 Rat ci L. SORT a Va,--h Va+h Vas—h Va,+h
ra /x —h 1/27 F zh .,/2+h 2e 7 É — VAT ET a —h 1Y o+h %o—h 2} a+h
2 1 e I ë, h LA ‘ =+ = | Va—h ya+h — Va—h Vas+h NES à /&—h æ+h Tr “Ju. PPAE" æ +h2l w (x + va? 2) 2 ay —h a+-h do —h 2Y a+h oi y 2 ph? : Dore ; 1 + Fi Va—h Va,+h — Vay—h Vas+h
Fu /€ —h : œ+h 24 fx —h | æ +h2à LE (x + Va? =) a —h 1Y a,+h ao—h “2Ÿ a+h
+1 Var ph? 1 4 €] 1 il < — Va—h Vath — = Va—h Vas+h —
$ 37. Pour trouver la valeur de L, remarquons que pour æ—# l’équation U2— W:2 (x? — h) — donne PeLe, U=+ Lu,
ce qui prouve que la quantité ZL, au signe près, est égale à la valeur U : RE
de -- pour æ— h, et comme les expressions précédentes de U et de v, dans
le cas de æ—h, fournissent
" 2h 2h & 2h 2h U=9 h\Ha : a+ 2Va,rh = 2 1 € 1 € PA he ———— + Voi—h Va+h Voao—h Vayt-h (ou — jh (ay — je... hiththt.... +1 OÙ (ay + €, Va? — h2)i (a + Eo Va —h}.... «
et que d’après (11)
il en résulte cette valeur de ZL:
TT sé Rn bar. Lo (a + 63 Von? — h2}h (ag + Ep Var — 2)... .?
ou, ce qui revient au même,
nn
dans. (1+4}/1—2) CCE | 1 ; 2
Mais comme on a
DE
—l— —l— , 9 = 4,2" + À,% nÈe et . + A, , —=24(&— 0.) (x — An). on trouve hyh er dl An—1—1 LA : a De dore Po À9
et par là l'expression trouvée de Z se réduit à celle-ci: : ; (15) Le ——
R2 \à Bb.
$ 38. Dans les expressions de la fonction cherchée U et de la quantité Z il ne reste d’inconnu que les signes de e = +1, e —+#+1.... Nous allons montrer maintenant qu’on doit prendre
si l’on désigne simplement par des radicaux
at ol
celles des racines des équations
dont la partie réelle est positive.
D’après l’expression de Z on voit que son module, pour & — + 1, &ü —=—+1,....,a la plus petite valeur de celles qu’on trouve dans toutes les hypothèses possibles sur les signes de = +1,e, —Æ#1,....; car, les parties réelles des quantités
Vis Vi
étant positives, les modules de
7e mm:
sont respectivement au-dessus de ceux de
ÉyArS, ES
D'autre part, on reconnaît aisément que la valeur de Z, qu’on trouve en prenant & —+1l,e, —<+1,...., est réelle. En effet, les quantités “, &,.... ne peuvent avoir, comme nous l’avons vu ($ 31), de valeurs réelles comprises entre æ—— het x—+%h, et par là on'voit que les
expressions hè F2 1 ENT œ 2? Æ rl a2? ...
ne sauraient être imaginaires que dans le cas où &,, æ&,,.... le sont. Mais comme les facteurs imaginaires de la fonction réelle
0 — À, (x — a) (tr — a,)°....
sont conjugués deux à deux, il suit que la même chose aura lieu par rapport aux facteurs imaginaires du produit
(1 Fe cu (1 0 on de
et alors notre formule donne pour U une valeur réelle.
En vertu de ce que nous avons montré sur la valeur de Z dans le cas dee —=+1,e,—+1,...., on voit qu’elle sera la plus petite parmi les valeurs réelles de Z, qu’on peut trouver d’après notre formule. Or, comme Z
désigne la limite des valeurs de la fonction cherchée £ entre æ— — h et
æ— +-h, et que, suivant notre problème, il s’agit de rendre cette valeur aussi proche de zéro que possible, il en résulte que la supposition
donne la solution cherchée, si toutefois, en prenant ces valeurs de €, €,,.... FRA à : « dans nos formules, on trouve que la fraction —, depuis += —A jusqu'à
æ = + h, reste effectivement comprise entre — Z et + L. C’est ce qu’on reconnait très aisément, comme nous allons le montrer.
