FE DO
En posant & = +1,e,—<+1,.... dans les valeurs trouvées de U
et W, nous remarquons qu’elles se réduisent à cette forme:
— A? ? À — oh? 2 | at V 1— M ya TR AE AL Vie | (il 6 en ( @] % Qo Lo :
a Va? hi L a s a?
E 1+ V'- — L y — LT — (2 1 | DE CA 2
… (a+var Te 2) +1 ee
Hi ET Te TE ….
(eva R2)t#1 &
+1 y x2 ph? h2 h2 UT Fo ve vi L 1-2 a — Lo” =
et comme les facteurs des produits
(— Fo Lu per. 1— Va)...
(1 y va) (a — Vive Be) purs
en vertu de ce que nous avons vu par rapport aux quantités Vi-Ë, SEE Las h? LA e® e LA e # “ nes e ..., sont ou réels ou imaginaires, conjugués deux à deux, on
voit que les valeurs U et W sont nécessairement réelles. Mais tant que les fonctions U, W et la quantité Z sont réelles, l’équation
suppose que, depuis æ = — h jusqu’à æ — + h, la fonction U? ne surpasse pas Z?w, et par conséquent, la fonction 2 reste comprise entre — L
et + Z, ce qu’il s'agissait de prouver. Ainsi nous parvenons à reconnaitre
que, la fonction U étant déterminée d’après la formule (16), la fraction e sera celle qui, parmi toutes les autres de la forme
an + plait... + pi) + pÜn) À) an—i—14 4, an—l-24., « + An}
et avec le même dénominateur
s’écarte le moins de zéro entre = —h et x — + h. Quant à L, limite
des valeurs de cette fraction entre x = — X et x — +- h, nous trouvons, en
prenant dans la formule (15) e, = 1, €, — 1,...., qu’elle s'exprime ainsi: L, —
+ 6e DE APE h2 \u R? \h 2 An (1 +Vi=5) (-+-yi-Ë) Ts Comme toutes les autres fractions avec le dénominateur
n—l—1] n—l—2 A,% + À x six As
et le numérateur
gt +pat +... + pe + pe
entre 2 — —h et x — + h, s’écarteront de zéro plus que celle dont nous venons de parler, il en résulte que, dans cet intervalle, leur valeur ne pourra pas être au-dessous de la valeur trouvée de Z.
$ 39. Indiquons maintenant le parti que l’on peut tirer pour l’Algèbre des résultats donnés sur les fractions de la forme
an 4 pal +... + pi) + pÜn)
AD NT 4 A a a ee Age à?
Si &, &,,.... sont réelles, les quantités P2 h2 1 +V1i—Ë, 1 +V1-Ë, À
comme nous l’avons vu, le sont aussi, et leurs valeurs sont évidemment audessous de 2. D'autre part, si &,, &,,.... sont des valeurs imaginaires et
date à:
que @ soit la limite inférieure de leurs modules, on voit que les modules des quantités PRE © EE A 1+V1-Ë, 1e Vi...
2 à h ne surpassent pas 1 +1 +7 et, par conséquent, restent au-dessous de 2 +- Te
car vi e < 1 + D’après cela, en supposant que l’équation
HT Le VA pee à ....+ À = À, (&—a,)" (x — a}. LE re, Tr 0,
à pe racines imaginaires et %—{ — pu. — 1 racines réelles, nous trouvons que le produit
(1 +V1-Ë) (1 + V1 —#). Le
car au 1 11/20 +h\ à est plus petit que 28 (2+ +) =2" : { a ) ,et par là
> 2) (rit a! M .F\ ©\2/ Re+x]" 2(1+ 1) (+ da) D'où, en vertu de la valeur de
Le —— Ée ; ol À 1 Fe ON RL A nn}; > Ta Es a a? .…...
résulte, dans le cas de 4,,, — 1, ce théorème:
Théorème 12.
Si le dénominateur de la fraction
a+ pal + pli) + p(n) Ajan—t1 + À, an—l—2 + Le «+ Ant +1
ne S’annule pas entre x — —k et x = +- h, la valeur numérique de cette
fraction, depuis x — —h Jusqu'à x = +h, ne peut rester au-dessous de h \" 2p.\ . ; . Fo - ;
2 (5) (5) » Où y. est le nombre des racines imaginaires de l'équation
SAR 740 adsl A2 ‘+ A x" +... +4, ,,2%+1—=0
el © la limite inférieure de leurs modules.
Si la fonction 4,2" + 4 ar à À,,,,% +1 S’annule entre æ—=—h et 4 — + h, dans ces limites la fraction
a+ plat. + pi) g + pl)
4 an—l1 + Ai OR An—i—2 2 +1
ne peut rester finie, à moins que son numérateur ne s’annule en même temps que le dénominateur. D’après cela le théorème actuel entraîne celui-ci:
Théorème 13.
Dans les limites x — —h et x — + h, où la fraction
a + pal +... , + pli) + pin)
Age + A al + + Any 9m +1
| ; 0 ne.
ne devient +, sa valeur numérique me peut rester au-dessous de
R\"/ 26 \ | A ES ue 2(+) 5) , & étant le nombre des racines imaginaires de l'équation
n—l—} n—l—2 Er vue LS À,T + À, % +....+ 4, , ,%+1—0 et p la limite inférieure de leurs modules.
Dans le cas, où le dénominateur
AA TETE ee PT Re A + 1
ne contient que des facteurs réels, le nombre 1 se réduit à zéro, et le théorème précédent se change en cet autre:
Théorème 14.
Si la fraction
an + pal +... pi) à + pin)
4 an—l—1 + À alt + + Anp—l2%t +1
» . » . DST 2 . 0 dont le dénominateur est composé de facteurs linéaires réels, ne devient entre z = —h et x — +h, sa valeur numérique dans ces limites ne peut
rester au-dessous de 2 (2)
$ 40. D’après ces théorèmes on démontre plusieurs propositions très simples par rapport à la résolution des équations. En voici quelques-unes:
Théorème 15.
Si l'équation AxŸ + Ca? +... + He +K—0O a u racines imaginaires et que leurs modules ne soient pas inférieurs à p, on trouve au moins une racine de l'équation
PR AR Re Ce + Has Jr K=0
entre x —— h et x —+h, tant que la valeur numérique de K ne surpasse 9 h \2À+1 2p \:
ue (3) ( p+ 5)
En effet, si l'équation D + An + Bat Ca +... + Hi +Jrz+K—=0
n’avait point de solutions entre 4 — —} et x — +- h, la même chose aurait lieu par rapport à celle-ci:
D An + Bat — Ca +... — He + Jx—K= O0, qu’on trouve en changeant æ en — x dans l’équation D + Aa + Ba + Ca +... + He + Jx+K—=0,
et par là il faudrait conclure que, dans les limites x = — h et — + h, on ne peut satisfaire à cette équation
Ge Bale + Ja — (A+ Ca +... , + Haf+ Kÿ—0,
obtenue en multipliant entre elles les deux équations précédentes. Or cela est inadmissible, comme nous allons le montrer.
Cette équation a évidemment une solution entre 4 = — h et x = +, si dans ces limites les deux fonctions
ae Ba l+,...+ Ja,
re CRT e Ci eue Mass K
s’annulent ensemble. Dans le cas contraire la fraction
entre æ——# et æ—+h, ne devient pas et alors, d’après le
théorème 13, sa valeur numérique ne peut rester au-dessous de
À 2(5) Fe 5); et par conséquent au - dessous de la valeur numé-
2 2p+h rique je K, cette valeur étant, par hypothèse, tout au plus égale à 2 (5) CG) Mais en mettant l’équation (a 4 Battle... + JaP — (Ant Can +... + Hi + K} —0
sous la forme
LÀ + Sas +... + sa + 1]
a+ Bañ—i+... + Je 2 9 K
on s'assure aisément qu’elle à au moins une racine entre x—— et x = + h, tant que la fraction
a +1 + Bad—1+,..,+Jax
A 2À C 21 —2 H 2 Kx° +R Het 4 1
qui s’annule pour æ— 0, ne reste pas dans ces limites numériquement au-déssous de Æ, ce qui prouve le théorème énoncé.
À l’aide de ce théorème on trouvera toujours les limites — X et + h où l’équation
MT se Aa Da CR se Hit K—=0
a au moins une racine, en prenant pour kune valeur positive qui remplisse la condition
h \4142 2 p Qu — 07 4) Gr Or si l’équation A+ Ca? +....+ Hi K—=0 n’a que des racines réelles, le nombre & se réduit à zéro, et alors cette
condition devient
ou
ce qu’on vérifiera en prenant pour À celle des deux valeurs + 2 - K,
2À+1 > 1 . ., « , , 1 ae — 2 V=x qui est positive. D’où résulte le théorème suivant:
Théorème 16.
21+1 241 Dans les limites — 2 V= K, Ur ES on trouve au moins une
racine de l’équation
gt Aa BAT Ca +... + Hi+Jr+K—=0
si l'équation À x? + Ca? +....K—0 n’a que des racines réelles.
$ 41. En remarquant que la condition (17) peut être mise sous la
forme aps K° ( Fe 2.
on voit aisément qu’on la vérifie par une valeur positive de k, en prenant
AT — : Frs ose lie!) ,
Pour s’en assurer, on n’a qu’à remarquer que, pour cette valeur de , on trouve d’une part
Se 41 +2 Qu 41+2 Qu.
k 41 —2p+2 1 2 | 1 1 | SRE 79 4 4 1 | a(à) —4(5x) 1+IVTE ss +
et de l’autre (à cause de » > 2 Ve K°)
L Qu 41 +2 Qu 2 4 1 Fi Ë Fe +. << Vé+ +
D'où resulte l’inégalité
OR
qu’il s’agissait de vérifier.
En observant que, d’après l’expression ci-dessus de h, cette valeur propre à remplir la condition (17) est égale à
2)+-1 LE 21— Si Php
avec l’un des deux signes +, nous déduissons du théorème 15 celui-ci:
Théorème 17:
On trouve toujours au moins une racine de l'équation D Aa + Ba + Ca +... + Ha +Jt+K—0 entre les limites 9 V+x Fa 11e
