À+-2 er | HEURE a ul

+2VTK 1+2V2r | :

où p. est le nombre des racines imaginaires de l’équation A+ Ci? +... + Hi+K—0

et p la limite inférieure de leurs modules.

Si p ne surpasse pas À, la fraction et alors *)

rer a reste plus petite que 1,

ue + #0 Le DS 2 MÉATENNRE ne: Vie : ts LR F2) Cp) 1 + <1+06 (+ )

d’où il résulte

2À+1 eus 2) 4-1—p 2À +1 Es 2V3E FE +V+ K | <2VFE+2V a

et le théorème précédent entraîne celui-ci:

*) On reconnait aisément que dans le cas de z > 0, m <1 et > 0, la quantité (1 + z)" est plus petite que 1 +- 27°, en remarquant que la fonction (1 + 2)" —1— 2", dont la première dérivée est m [(1+2)"—1— 31], reste décroissante pour toutes les valeurs positives de z et s’annule pour z = 0.

Éd

Théorème 18.

Si 1, le nombre des racines imaginaires de l'équation AR + Ci +....+H+RK—O,

ne surpasse pas À et leurs modules ne sont pas inférieurs à p, on trouve toujours au moins une racine de l'équation

EL es ARR BR TR OR +. His Jr K—0

entre les limites

241 2} —-U+1 +2y/-K+72 Su

Dans le cas où l’équation

A in CRE AC + K = 0 se réduit à K,2°*°+ K—0,

les quantités X,, Æ étant de même signe, on trouve que m, le nombre de

ses racines imaginaires, est égal à 2 À,, et toutes ces racines ont pour module S.à

K Or, en prenant cette valeur pour @ et posant u — 2 à,, on obtient

2À+1 21 —p+-1 2 +1 20 —À9)+1 2 Vir+oy RNA er 2 2 ph 2 à

D'où, en vertu du théorème précédent, résulte le suivant:

Thérème 19.

Si l'équation

De Cat... +Ka0+....+Jx+K—=0 ne contient qu’un terme K, x°* avec la puissance paire de x et que le coeffi-

cient de ce terme soit de même signe que le terme connu K et l’exposant ne

surpasse pas À, celte équation a au moins une racine, comprise entre les limites

2À+-1 2 — À0)+1 1 1 SayTr- IV, 2À+1 20 — 0) +1

+2V3E Er ne

Si les termes X,2°% et X sont de signes contraires, on trouvera, d’après le théorème 11, au moins une des racines de l’équation

gp Col + Ka... .+Ja+K—=0

dans ces limites plus rapprochées:

2À+1 21+1__ ne VE 9 V+E K.

Donc, si l’on désigne par X,, K des valeurs positives, les limites

Se PME 20 —ho)+1.

+ 2 V- K + 2 V de contiennent nécessairement au moins une racine de l’équation Cale, EKat+... .+JatK=0,

quels que soient les signes des termes X,2°° et K.

XIIT.

Sur la fraction qui, parmi toutes les autres de la forme pan plants, + pin + p—b pin—l+i) xl + pin—Hr2) al—1.. .: + pt) æ + pti)? entre — —h et x — + h, s’écarte le moins d’un polynôme donné

noie MR TE Data

$ 42. Il est clair que cette fraction ne doit pas devenir infinie pour æ = 0 et cela suppose que, dans son expression

p'an-tit plan—l-2s., + pti) æ + pln—1) pin— 41) x lp pin—t+2) Pme VER + pl) & + pin+1)?

NT

in sul oit.shaf ist todife er dos ss

le terme p ne se réduit pas à zéro. Mais tant que pt n’est pas zéro,

cette fonction peut être évidemment mise sous la forme

on an—l—1 + po TR + Pn l T +Pn—l

567 ; Pn—1i+1 a+ pn 14 al—1 +... + Pn? +1

en dénotant

p p"! pi—i—1) pln—1) p—i+i) p{n) pln+1)? pt+1)?° get au pln+1) ? pii+1)? pi +1) Et fe pli)

par Pin Pers Pat nr Pat Patent: Po:

C’est sous cette forme que nous chercherons la fraction dont il s’agit. En désignant par F(x) la différence du polynôme donné

AE A Ban TRE et de la fraction cherchée

mn an—l—1 + Po an—l-2 +... + Pn— 11 L + Pn—i

Pn—1+1 + pn per ai +... +Pnt+l î

nous concluons du théorème 4 ($ 16), que le nombre des solutions communes aux deux équations

et différentes entre elles ne peut s’abaisser jusqu’à n + 1 — d, à moins que la fraction cherchée

PA an—l—1 + Po DES En. + Pn—l1 XL +Pn—|l

Pn—1+1 d'EOn vie D ke... «+ PnT +1

ne se réduise à la forme

Pan at Ci... + Pn 11 L + Pn—l Pn—1+d+1 go... +Pnt+1l

Or, en faisant pour abréger