VV — U}—I?V

a"V=U (ei — 3) — 7 —0.

$ 43. En suivant la même marche que dans le $ 30, on reconnaît aisément que, æ — 4%, étant une solution commune à ces équations, l’expres- Sion (2 — 7?) [UV — U} — I? V?|

est divisible par (x—x,), et comme le nombre de ces racines, différentes entre elles, est au moins # + 1 — d, nous concluons que l’expression

(a? — à) [(uV — UŸ — I? V?] est divisible par les n + 1 — d différents facteurs (c— 2), (x— x), (x —ax,),.... 7 — 4%, à). D'où nous déduisons l’équation (at?) [(uV—U)— LV] = C(a—x) (a —2) (a —2)....(a—x, à,

en remarquant que la fonction (x? — h?) [(wV — U)? — I? V*], où

ua lt Aa Bart...

F= D + + 1 — Pn 1+a4#+1 SIN PnT ?

… n—l—d—1 U=9p,,,% He HD, TD,

ne peut être de degré plus élevé que son diviseur (G— 2) (x — x) (x—2,)....(t—2, }.

Mais cette équation ne peut avoir lieu, évidemment, à moins qu’on ne trouve æ — h et x + h parmi les facteurs |

D — Lo, T— Li, D — Boys T — Un y

RE PR re Te

et si nous supposons, pour fixer les idées, qu’on ait

G—G=%—h, 2—2% —=%+h, elle devient

(ah) [Qu V— UY— LA Vi] = C(a—h} (+) (a—2)... (ax, ),

et par là

QuF— UV} LP = Ce —h) (@—2)....(@—2, D'où nous tirons l’équation (18) (uV—U}ÿ — LV?= W? (2 —7), en désignant par W la fonction entière VC(&—x)....(@—x,,)

Comme les fonctions U et V sont de la forme

n—l—d—1 Pa? ue rhinCrE D,

1—d Dr host D Tr],

leurs degrés ne surpasseront pas n—/— d—1,/— 4. De plus, on voit facilement que le degré de V ne peut être au-dessous de Z— d; car autre-

ment la fonction | (uV— U} — IL? V?

serait de degré inférieur à 2(n— d), et par conséquent l’équation (18) où Mr —hR) = C(G—x)....(@—x,) (a —h

ne pourrait avoir lieu. Donc, la fonction W sera nécessairement du degré ! — d.

$ 44. Conformément à ce que nous avons dit dans le $ 16, la fraction

U __ pa ave à + Pn—1—1 2 + Pn—i SN OU PET nd D + PnT+l

est la valeur de la fraction cherchée réduite à sa forme la plus simple, et, par conséquent, les fonctions U et V sont premières entre elles. Cette valeur de la fraction cherchée peut présenter deux cas; savoir: celui où d est un nombre pair, et celui où d est impair. Mais nous réduirons le dernier

cas au premier, en supposant que, dans le cas de d impair, on introduise

x x — où 1——

dans les fonctions U, V, W un facteur commun, tel que 1 +- + É

ce qui r’altère ni la forme de l’équation (18) ni la valeur de la fraction seulement ses termes deviennent divisibles par une même fonction x + X ou æ—h. En vertu de quoi nous supposerons désormais que d est un nombre pair et que les fonctions U et V peuvent avoir un commun diviseur & Æ b, diviseur qui ne présente aucun embarras dans nos recherches, comme on le verra ensuite.

$ 45. En passant à la détermination des fonctions U et V, nous remarquerons que l’équation (18) peut être mise sous cette forme:

Q@uV—U+ LV) (UV —U— LV) = (2 — à) WE,

ce qui prouve que la fonction (x°— k°) W? est décomposable en ces deux

facteurs :

uV—U+ LV, uV—U— LV.

Comme ces facteurs, multipliés respectivement par L—u, L+u, donnent en somme — 2 LU, et que leur différence se réduit à 2 LV, il est clair que leur commun diviseur doit diviser aussi les deux fonctions

et, par conséquent, qu’il ne peut être que de la forme x + h, car les fonctions U et V, comme nous l’avons vu ($ 44), ne peuvent avoir un commun diviseur de l’autre forme. En vertu de cela et en remarquant que la fonction (æ°—h?) W? ne peut être décomposée en deux facteurs soit premiers entre eux, soit avec un commun diviseur de la forme æ +}, que de

ces deux manières:

(@—hWS.(c+RhW, nous concluons que l’équation uV—U+ LV) (uV—U—LV)= (a? —1TJà) W?

entraîne nécessairement l’une de ces quatre paires d'équations: uV—U+LV=WS, uV—U— LV = (À —R) W}; UV—U+LV=(c—RWË, uV—U—LV=(x+h W; UuV—U+LV= (RP) WS, uV—U—-LV = W}; UuV—U+LV=(x+hWS, uV—U—LV—=(x —h) We.

De ces quatre systèmes d'équations nous n’aurons qu’à considérer les deux premiers

uV—U+LV=W, UuV—U—LV = (x —T) W, uV—U+LV—=(c—h WE, uV—U—LV—=(x+h) W}; car les autres s’en déduisent par le changement du signe de la quantité L. De plus, comme les fonctions #, V sont respectivement de degrés n — 4, 1—d, et que le degré de U ne surpasse pas n—/—d—1, on trouve

que l'expression uV — U+ LV

est de degré n—d, et, par conséquent, d étant un nombre pair, cette expression sera de degré pair ou impair, selon que le nombre » lui-même est pair ou impair. D’après cela et en observant que des deux systèmes d'équations

uV—U+LV=W,, uV—U— LV = (ÈÀ—-R)W, uV—U+LV—=(c—hWS, uV—U—LV—=(x+hW;, le premier suppose que la fonction

uV—U + LV

est de degré pair, et le second qu’elle est de degré impair, nous concluons que le premier aura lieu dans le cas de » pair et le second dans le cas de n impair.

Nous allons traiter à part chacun de ces cas.

Le nombre » est pair, $ 46. Dans ce cas on aura ces deux équations: (19) uV—U+LV—= WE, uV—U—LV—(#—# We, qui étant résolues par rapport à U et V donnent

(20) 2LV—We—(a—#) W,, (21) 2LU—(u— I) We —(u + L) (x? —h) WS.

Comme les fonctions #, V sont respectivement de degrés n —7, 1—d, et que le degré de U ne surpasse pas n—/ — d— 1, les équations (19) nous

montrent que les fonctions W,, W.

D’autre part, l’équation (21), étant mise sous la forme

2 U=| WV u=L=W,V{u+ Le) | [WVu-L+ M VQu+L)(—) |

nous donne DJ PER 2LU W u—L OW[W(u—L)+WVR2— La? —h)l

. . 2 — h?2 ce qui prouve que la fraction LE est la valeur de VE M) exacte

jusqu'aux termes de même ordre que

PE PA D W, [W,(u — L)+ W, Vu? L?(x? —n?)] °

Or, comme les fonctions W,, M » Par ce que nous avons vu plus haut, 2 n— d

ne surpasse pas n — [— d—1,0on ne que l’expression

— l1,n—1, et que le degré de U

2LU Wi [Wo(u— L) + W, V{u?— L?)(x? —h?)] p V4 # n—l—d—1 n’est pas de degré plus élevé que — + Donc, la m? x? .an—l fraction À 77; d'après l’équation dont nous venons de parler, est la valeur de

L) (@2—h? 1 Vue T ] exacte au moins jusqu'aux termes de l’ordre ñ° Mais

comme W.,, le dénominateur de la fraction =, n’est que de degré n — à

ns | <5 -, cela ne peut avoir lieu, à moins qu’elle ne soit l’une des

fractions convergentes de l’expression

qu’on trouve par son développement en fraction continue.

De plus, comme le dénominateur de la fraction . est de degré 2], elle ne peut donner la valeur de V ne 1) exacte

1 . : (u + L) (x?— h?) jusqu'aux termes -;, à moins que la fraction convergente de V ES OS

qui vient immédiatement après elle, n’ait pour dénominateur une fonction n + d

+ 1. D'où l’on voit, d’une part, que Vo, dans la

L) (x? —h2 + BHO , est la dernière avec le

dénominateur de degré au-dessous de —; et de l’autre, que parmi ces frac-

au moins de degré

suite des fractions convergentes de V

tions aucune n’a pour dénominateur une fonction de degré L. Le premier point nous montre que les fonctions W. et W,, et conséquemment la fraction cherchée Ÿ sont tout-à-fait déterminées par la valeur de Z; le second nous servira pour trouver la constante Z, et d’après elle on aura facilement la

valeur de la fraction

$ 47. Pour y parvenir, supposons que

soit le développement de / “+2 en fraction continue, et que PP —

Go Hs LP D" PTT Sue es

soit la valeur du quotient complet qu’on trouve en s’arrêtant au dénominateur g.. Dans cette supposition on a

u—L ur 27 2 A p2 Ga H Rae Es Go+1 H5-+1 1? x (23) De Era vi. KE PEER 7 RE æ

La dernière de ces formules nous montre que les dénominateurs

Dr se. .Qn

sont des fonctions du premier degré, si les quantités

restent différentes de zéro. Mais tant que gq,, &,....q, sont des fonctions

du premier degré, le développement de

en fraction continue

arrêté au dénominateur g,, donne évidemment une fraction convergente avec 3 | le dénominateur de degré —. Or, en vertu de l’équation (21), où L désigne

= . U la limite des valeurs de w — .

avoir lieu, comme nous l’avons vu; donc, pour cette valeur de L, au moins

l’une de ces équations:

entre z——h et x — +}, cela ne doit pas

aura lieu nécessairement.

$ 48. Supposons maintenant que parmi toutes les valeurs dont Z est susceptible dans le cas où cette condition est remplie, celle qui est numériquement la plus petite soit Z;. Comme — Z et + L déterminent les limites où, depuis 4 = — À jusqu’à æ — + h, reste comprise la différence de la fraction cherchée

di + pt + Pi

U __ Pari an = —

ou ce qui revient au même ($ 41)

U p anti ppt als, 4 pl) » + pr —l)

et du polynôme

u— 2" + Ag ip pan rh.

et que, d’après le sens de notre problème, il s’agit de rendre ces limites les plus proches possible de zéro, il est clair que dans sa solution on aura

si toutefois il est possible d’obtenir une fraction

U patrie plants, ppt) » + pi

Mig ptn—l4n xl + pln— #42) AL + pi) æ + p(n+1)

dont la différence avec w, depuis æ — — h jusqu’à æ — + h, reste comprise entre les limites aussi rapprochées que — Z, et + Z,.

Nous allons montrer maintenant que cela est possible et qu’on trouve une telle fraction d’après nos formules (20), (21), en prenant

où — est la fraction convergente de

N 2 2 VAR — h?) —q, —"? h2 (À Don DEN A2 —.

- qui correspond au dénominateur q,, la première des équations

Ge Gimm0; (0 0, qui a lieu, dans le cas de L = Z,, étant

$ 49. Pour y parvenir, remarquons, en premier lieu, que pour ces valeurs de Z,, W,, W, les équations (20), (21) deviennent

21,V = M?— (2x — 1) N°, 2 LU—=(u — L,) M —(u + L,) (2? — 1®) N°; d’où résulte cette valeur de la fraction ::

Ut — Lo) M? —(u + Lo) (x? — h?) N?

D'autre part, comme

est la première des équations

G,=0, moisi 206,

qui à lieu dans le cas de Z — Z,, on voit d’après (22) que pour cette valeur de Z les fonctions UE CPE ° %

sont du premier degré, et g.,, de degré plus élevé. D'où il suit qu’en s’arrêtant dans le développement de

(u + Lo) (x? — h?)

en fraction continue

au dénominateur g,, on trouve une fraction convergente dont les termes sont respectivement de degrés © + 1, o, et dont la valeur ne diffère de

(u + Lo) (x? — h?) u — Lo

# . } 4 ® « e il M que par des termes de degrés inférieurs à celui de =5+<. Donc, comme K

est la fraction convergente de VER %), qui correspond au dénomi-

nateur q,, les fonctions M, N sont respectivement de degrés o + 1, o, et

la différence — (u + Lo) (x? — h?) u — Lo

est une fonction de degré niérieur à —(20 +1).

En vertu de ce que nous venons de montrer sur les fonctions