M 3, VERS
U — L il est facile de voir que la fraction
déterminée par la formule (24), se réduit à la forme
patrie planter... + pin) x + pii—) ptit) al + pin— 42) an pr) x + pt +1)"
En effet, son numérateur
Qu — Lo) M? — (u + Lo) (x? — 72) N°
peut être mis sous la forme
LM | + DE || r y EN),
et comme les fonctions u, M, N, V (+ Lo) (x? — h?)
sont respectivement de degrés n—Ù, +1, 0, 1,
et que le degré de la différence
rs (u + Lo) (x? — 7?) N u— Lo
est plus petit que —(2c+ 1), on trouve pour cette expression un degré inférieur à x —{, et, par conséquent, elle sera de la forme
px + px PANCT VNEMS O7
En passant à son dénominateur M?— (2? — 1) N°,
remarquons qu'il peut être mis sous la forme
SA a 2 2) N2 2 2 __ h2) V2 (&— Li) M ur (e M) Ne 7, M Le ES
et comme les fonctions : M, N,u sont respectivement de degrés
et que (u — L) M? —(u + Lo) (x? — 2) N°,
en vertu de ce que nous venons de voir, est d’un degré plus petit que n—{, on trouve que le degré de cette expression est égal à 2 o + 2 —(n —). Mais o étant l’un des nombres
le nombre 26+2—(n—7) ne peut surpasser /. D’où il suit que la fonction M? — (x? —— °) N?
est de la forme
pr gl per +... +pz+p
. . 4 @ U 2 2 à Ainsi nous parvenons à nous assurer, que la fraction -; qu’on trouve d’après (24) est de la forme
p' alt pale, PE EC om TL + pin—1) pi) gl + pire) gli, + p) 2 + pt" Il nous reste à montrer que sa différence avec, entre x —hetx—+h 2 |
est comprise dans les limites — Z, et + Z,. Pour y parvenir, nous remarquerons que d’après (24) on a
(u Re 5) ee Li E [M2 — Nz (æ?—72)[? (a eu 17),
et comme M, N sont des fonctions réelles, et, que partant l'expression
4 Lo? M2 N°?
CM? — (x? — 9 N°2}
ne peut devenir négative, cette équation montre que, depuis x = — À jusqu’à & — + h, la fonction
L ree 7) depuis t——h jusqu'à æ — + h, reste comprise dans les limites — Z,
et + L,.
$ 50. Aïnsi nous nous assurons que la fraction © qu’on trouve d’après (24) est de la forme
p'anli + pran-lrs + pri) » + pr) pi) gl 4e pa) lie, pi) 2 + pi) ?
et que sa différence avec w, depuis t——} jusqu'à tx —+#, reste
comprise dans les limites — Z,; et + Z,. D'où il suit, en vertu du $ 48,
que
est effectivement la valeur de Z qui répond à notre problème, et, par
conséquent, qui détermine les limites des valeurs de u— © les plus proches de zéro.
En remarquant que — Z, et + Z, sont les limites de la différence
U PO D entre æ— —} et x—<+}h, les plus proches de zéro, on voit, d’après
ce que nous venons de montrer par rapport à la fraction > déterminée par (24), qu’elle donne la solution de notre problème, où il s’agit de trouver la fraction - de la forme
p'atckieplan-tez st. pti) x + pi —D qui, depuis 4 — — } jusqu’à x — + h, s’écarte le moins de w.
De plus, on reconnaît aisément que c’est la seule solution possible de notre problème (sauf le cas, où l’on obtient pour Z, deux valeurs de signes contraires, dont chacune, d’après (24), peut donner la solution); car en vertu de ce que nous avons montré ($ 46) sur l'équation (21), les fonctions W, et W., et par conséquent la fraction Les sont complètement déterminées par la valeur de Z.
Ainsi on ne trouvera la quantité Z — ZI, et la fraction cherchée Ê qu’à l’aide du développement de l’expression
AE (x? — h?) u — L
en fraction continue
prolongée jusqu’au dénominateur q,, ce qui demande des calculs très longs.
Nous allons montrer maintenant comment on peut simplifier la détermi-
nation de Z, et de Le
$ 51. Comme la fonction « est de degré n —{, l'expression
(u + L) (x? —h?) ER 3 Ù
ne diffère évidemment de
que par les termes de l’ordre
= où moins élevés. D’où il suit qu’on
trouvera la même formule par le développement des expressions
VRP, VE,
en fraction continue, si l’on ne pousse pas ce développement au-delà de la limite, pour laquelle les fractions continues donnent leurs valeurs
exactes jusqu'aux termes de l’ordre . D'après cela et en remar-
an—l—1
quant que Væ*—? ($ 22) se développe en fraction continue
qui ne donne pas la valeur de Va? — A? exacte jusqu’à ss Me pr Tr
nombre de ses dénominateurs ne surpasse pas
nous concluons que dans le développement de
on trouvera
où k est le plus grand nombre entier compris dans la valeur de —
rs 1e ti MR L diasit Li Tee
D'où il suit que les (E—r+ 1) fractions convergentes de
($ 22) par
sont égales à celles de Va?— ZX? que nous avons dénotées
Pi Le Ps Qi? @ 9°"?
et dont les termes, comme nous l’avons vu, se déterminent ainsi:
| P (œ Var RE) + (x — Var — h=} VEUT 2 ?
(x + Va? —h}— (x — Var? — h2}
La 2Vx?—h 3
$ 52. D'après cela il est facile de trouver une certaine fonction qui, par son développement, donne la partie de la fraction continue
qui suit après le dénominateur q, L Es
En effet, les fractions convergentes de
VE (x? — h?) so p?
u — L — — ie. Bates, qui correspondent aux dénominateurs q, ,q, $ étant Pn Pr a + 16) nl 2 On 4 ose:
nous trouvons ZP + L)(a? —h?) sr ST tot na É—i “= 2 caps SNS "RE On — ZQn .?
à dei 12 3 -#+1 a —# An ,— 2
et par là y MR ET de 7 VWü+L) 2) Qn,—Vu—LEn, 3 3 2 En substituant ici les valeurs de D F4 1? On s à 411
tirées des formules (25) que nous venons de mentionner, on a
Z— [(a+-v TE) Lei in Ÿ BR} Er Vu+L—[(x-+Va2R Fm} — re (&+V 22h? me) cer Vu—1 —L;
[(x+-V 227? me $ (VE d Vu+L— [Ce PT, x?— ER — 1 Vu—L
et comme (x Va) (x — Var —h) — 1,
x + Va? — à ?
Lo Vape
cette valeur de Z se réduit à celle-ci:
Z=— 1 [eva ne TT [(o+ po ES NE d | 2720 7 avai [eva (a) pe
En multipliant dans cette expression de Z le numérateur et le dénominateur par | Vu+ L+Vu—L,
nous trouvons en définitive
HS 1 L(x+vr— 22h)" # +2 je 2hre (u+ Vu TT?) x+Var—h? L(x-+vVr— PE) A TS ANT (ou + Var — u? — Li)
Aïnsi nous trouvons la fonction Z qui, par son développement, détermine la partie de la fraction continue
qui suit après le dénominateur q, F et par là les valeurs de =
n n "ER AE n 2 k à k+1 2 27
qui désignent les coefficients de = dans les quotients complets de la fraction continue
‘arrêtée aux dénominateurs
pe sd:
Dr? In res 21 D’après cela on a (26) ed: LÉO LE Lt 2 2 3 en dénotant par l'Ee FRERES À
les coefficients de dans les À premiers quotients complets du développement de Z en fraction continue
FR r#i Miss. : D k+3 Quant aux valeurs de Go, Go...
en remarquant que les dénominateurs Q:) UPTE VE In k
dans la fraction continue
1 Qo — ;
comme nous l'avons vu ($ 51), sont égaux à 2x, nous trouvons
is h2 Le h2? or h?
(27) G=—", Der ds à
$ 53. Au moyen de ce que nous avons vu par rapport au développement de
en fraction continue
la détermination de la constante Z, et de la fraction cherchée A se simplifie notablement, comme nous allons le montrer.
D'après le $ 48, on trouvera la valeur de Z, en cherchant parmi les racines des équations
la plus petite numériquement.
Or, comme nous avons trouvé (27)
Go—=— 5)
il est clair que L — Z, ne peut être qu’une racine des équations
ou, ce qui revient au même d’après (26), de celles-ci:
Dh =, ÿ—=0,....9—= 0, Ainsi nous parvenons pour la détermination de Z, à cette conclusion définitive:
On trouve la valeur de L— L,, en cherchant parmi les racines des équations
di = 0, Ja = 0, % = 0, celle qui est la plus pétite numériquement; où g,, ga,....9, Sont les coefficients de - dans les k premiers quotients complets du développement de
D 1 L (x + = Re) he no VE LÀ) VER L(erVar =) K (a+ Var Ti)
en fraction continue, et k désigne le plus grand nombre entier que la quan-
tité LS contient.
Nous ne disons rien de la forme de la fraction continue, dans laquelle on développera Z, en cherchant les valeurs de g,, %,....9,; car il est clair
que les quotients complets, aux facteurs constants près, seront les mêmes, qu’on développe Z en fraction continue de la forme
comme nous l’avons supposé jusqu’à présent, ou dans une de la forme
