E M.\2 RE A
Ge Lo) (Par +1 En i) — (nu + Lo) 2h?) (On x 41 De Qn x Mi)
Dos M; ARE .\2 | Po Dar n2) (Our 1 M Ce 4)
QE où le numérateur se réduit à LE ere a ESS On) ni —2 ie te no PIE P, +Q, 9, Gao) 0 M M,
SH S—k CLÉ St +[(P. —(! 2 —hR)\u—([P2, +Q a? — h2)\ L, RS ne er PS et le dénominateur à
Pas ei Un, 9,6 —MIM
Ro, 0 QE —H)) Ne Ms.
n n St ei D—k+1 DE Mais comme d’après (25) on trouve P? — QE (x — 1?) — e
LP AE or (a° or. M}= (x C4 APT ER x? — })À = (x Te Va
2— 1e 2)21— PP Q Qt) = EVE PE EVE RE
PP: —@Q Qi —h) = Rx,
ces valeurs de U et V deviennent
r__ | pn—2k+2 (eva po Va hr —2k +2 U—=|} #7, à
je
F9 2 = h2)n— 2h41 Var = pen —2k —9|[7" ou Les h?) V x? — hà)
Im,
re pa Sabre Fr (x + Va? — h2}n—2k + (x — ACT eme M},
V= RÉ TRNE 0% N, M, + ME].
SIN Pi : . . A da Ainsi nous parvenons pour la détermination de la fraction cherchée a
à cette conclusion définitive:
Si g, = 0 est la première des équations
qu’on vérifie en prenant L = L,, les termes de la fraction 2 qui parmi tou-
tes les autres de la forme
p'antis pales + pin) x + pb
pin—1i+1) al pin—t+2) Pr ne VE ONTE + pl) 2 + p(n+1) s’écarte le moins de n
u—= 2" + Aa + Br RAR
entre x ——h et x = +h, sont données par ces formules:
L ae h2n—2k+2 Var pin —2k+2 / EE he, __ y G+Ve 2) ie Va h?) N°
Fe 2 En — 2h Var pen 2h olp" Aou — y C+Ve h?) . Va? — hi) JM,
Le. 2 p2}n—2k — V'a2 — h2}n—2k +[r" 2k UT e+Ve h ete V æ RÈ) M»,
V=RTÉTRN?—2%N.M,+M|, où M,, N, sont les termes de la à" fraction convergente de
1 L(x+vax— Raja pn—2h+2 (y + Vu? = IL?
t+VahR L(x+Va— jh 2 pk (y + V 02 L?)
qu'on trouve par son développement en fraction continue et parmi lesquelles ; l on compte TJ
Le nombre » est impair,
$ 55. La méthode que nous venons de donner pour la détermination de Z, et de la fraction > dans le cas de » pair, peut être facilement appli-
quée au cas où » est impair, comme nous allons le montrer.
a ne déni Étant de ht à LS RL dd ss
Nous avons vu dans le $ 45 que, le nombre x étant impair, on a ce système d'équations: ;
fuV—U+LV=(e— 0 We,
(28) | luV—U—LV—=(r+ 0h) W;, ou, ce qui revient au même,
(29) 2LV—(x—hW?—(x+h) W, (30) 2LU—(u—L) (x—h) W?—(u + L) (& + h) W.
Comme les fonctions w, V sont respectivement de degrés n—7, /—d, et
que le degré de U ne surpasse pas n—7— d— 1 ($ 43), les équations
(28) prouvent que les fonctions
Wo M sont de degré ra l, Mais d’après l'équation (30) on trouve Wo__y/u+L (+) 2 LU W G—L)(@—h) W[W(u—L)(&—h)-+ W, V (u2— L?) (& — W)]
ce qui nous montre que la fraction
W W, est la valeur de (u + L) (x + h) (u— L)(æ —h) exacte jusqu'aux termes de l’ordre 2LU
W, [Wolu— L) (x — h)+ W, V (u? — IL?) («? — k)]’
et par conséquent, en vertu de ce que nous avons vu relativement aux
L . LT 1 degrés des fonctions W,, W,, U, u, exacte jusqu'à 5. Or, comme W,
le dénominateur de la fraction 2°, n’est que de degré ” cela ne peut W,° q RME avoir lieu, à moins que 7 ne soit l’une des fractions convergentes de 1 J
et que la fraction convergente qui suit celle égale à F n’ait pour dénomi-
d+3 nateur une fonction de degré “5
tions convergentes de l’expression V (u + L) (x+h) (u— ZI) (x —h)
: : n +1 aucune n’aura pour dénominateur une fonction de degré ——.
. D'où l’on voit que parmi les frac-
$ 56. D’après cela, en répétant sur le développement de
