VE

en fraction continue

ce que nous avons fait dans les paragraphes 47, 48, 49 avec le développement de

en fraction continue

on reconnait aisément que la valeur Z doit vérifier au moins l’une de ces équations:

G=0, G—0,....6, ,—0, où G, G,,....G, , sont les coefficients de - dans les 1 premiers quo-

tients complets de

Qu+ L)(x+h) 2h

(G—L)(&—h) — hr

SE

D'autre part, si l’équation

est la première parmi

qui a lieu pour Z — L,, et qu’on fasse

NT 2 h?

—", in U __(@— Lo) (®—#) M? —(u + Lo) (e-#+ 2) N° ( Fe =?) Mi (+) N2 ’

en traitant cette valeur de is de la même manière que celle donnée par la

formule (24), on trouve qu’elle est de la forme

p' an—l—1 +p" an—l-2 corse + pti) æ + p(n—1) pin—i+1) x + p(n—{#42) its + pi) x + p(n+#1)

et que sa différence avec w, depuis æ — — À jusqu'à x — + h, reste comprise dans les limites — Z, et + Z,.

D'après cela on conclut, comme dans le cas de # pair ($ 50), que la valeur cherchée de Z est numériquement la plus petite parmi celles qui vérifient au moins l’une des équations

Ed; G=0;::.:.6.:, —=0,

et que cette valeur étant L — L,, et

G,—=0 la première des équations

Cas, 6=0,::,0 —=0, 2:

qu’elle vérifie, la fraction cherchée L se détermine par la formule (31), en

M prenant pour - celle des fractions convergentes de

(u + Lo) (x + h) __ Qu — Lo) (&—h) = —

qui correspond au dénominateur g,.

C’est ainsi qu’on parvient à déterminer la valeur de la constante Z et

de la fraction cherchée : dans le cas de » impair.

$ 57. Nous chercherons maintenant à simplifier la détermination de Z et de z dans le cas de » impair, comme nous l’avons fait (section XV) pour le cas de » pair, et on verra qu’en définitive la détermination de Z et de =

dans ce cas ne diffère point de celle que nous avons trouvée pour le cas de n pair.

La fonction « étant de degré n — 1, les expressions

V EE? V == (u— L)(x—h})? æ—h

. LI 1 Là LA ne diffèrent entre elles que par les termes de l’ordre m1 et moins élevés.

NS : (u + L) (x + h) T+h D'où il suit que pour les développements de Tres yr es et Vi on trouvera la même fraction continue, si l’on ne pousse leurs développements au-delà de la limite, pour laquelle elles s’expriment par les fractions conti-

nues avec l’exactitude jusqu’à -5—. Or, puisque l’on trouve

xz+h

exacte æ—h

et que cette fraction continue ne donne pas la valeur de V

, il est clair que dans le développement

— k de ses dénominateurs, k étant la

. TS Re Jusqu'à =7—1, si l’on conserve