partie entière de Le

u+L)(c+h) 2h VER = qe? ne on aura (32) Db—=1l, 4—2%—h, B—2%,....Qu =2%.

D’où nous concluons que les fractions convergentes de

uæ+L)(x+h) 2h VER = + 1e

qui correspondent aux dénominateurs

nr ? ( PP ar Sels 7e hml

seront

si l’on dénote par p0) pu) PO Q0)” Qu) ae”

la suite des fractions convergentes de æ+h 2h Vi=a +? re pour la détermination desquelles on trouve aisément ces formules: (y SR * ue vs Jen (y= mn * V + D PD — a 7 “RAR p 9 V æ—h ?

D do Ve).

Q®— 2 2 PAF ST 2 *) 9 V z+h.

$ 58. Suivant ce que nous avons montré sur les fractions convergentes de

(u + L) (x + h) (uw — L) (x —h)

qui correspondent aux dénominateurs

In ? nr ?

PE —à MK —1

et en faisant a n°

In+1 RS ANTRENEEnE k?

DE PSE tn RS ue due 2 PRES 245 °

*) On vérifie facilement ces expressions de PQ), QU), en remarquant qu’elles donnent des valeurs exactes dans le cas de À—0, À—1, et qu’elles vérifient les équations PA) — 9 3 PA—D 2 p2 PA—I, QD — 9 x QU— — 2 QA—, suivant la forme de la frac- 2h

ti :

ion continue 1 + Hohner int

nous trouvons cette expression de +, EE

(u+-L) (x+h) 2h : P La 1) —ZP (1 —1) } (u—L)(&—Rh) DT di . TE n+1 n—1 ; cu PRE BEL x) 1 &)

D'où résulte cette valeur de Z:

Ve rDerh rt: Va Dash

QU Vu + De +1 PR) yo DER

qui, après la substitution des valeurs de

en vertu des formules (33), devient

Vi V= ” = Eu "VS Pr yen V=- = ou = VE PITEMAATES EE ICE ETES ER

En remarquant que » est un nombre impair et que ( xz—h EN, æ—h Se hŸ Ra 2 ELT: .) =

on reconnaît aisément que cette valeur de Z peut être représentée ainsi:

: Ver Le qe RTL pre tee #} Ve-(V En)" LÉ qua] x+Va?—h? Vr{| VE Fe) 2n— Par] Ve (Ve & 5 Sn] ?

et comme æ—h h \? SR ( 2 +VS ) =2+Vr—h,

cette expression de Z se réduit à

1 L(c+ va —h}n—2k+2 4 pn—2k+2 (u + Vu? — I?) x+Va—h L(c+v ah}; pn—2k (u+ Vu? — I?) J

ce qui est identique, au signe de Z près, avec la valeur de Z dans le cas de mn pair ($ 53).

$ 59. En dénotant par UE UE 3 .. se

les coefficients de = dans les quotients complets de

h2 D NOTE y 5 Re RP ue el n+ 2 CR TRS In+1}

NU fe

nous trouvons qu’on aura

"RES Si NH xp] — ÿe) 2: AUS — Ÿy) 2 2 où Gr E? Bt - L 11? +3?

suivant la notation admise dans le $ 56, désignent les coefficients de dans les quotients complets de

u+L)(x+h) __ 2h re ce 2 — +

quand on s'arrête aux dénominateurs g,,1 > dn+i , 7" * * +1 im nt. 28 ——>© —k+ NUL 2 2

De plus, en vertu des valeurs de Der Mure) our

trouvées plus haut ($ 57), on reconnaît aisément que @,G,,G@,,....@,, r x ne

les coefficients de - dans les — — k premiers quotients complets de Q@@+ L)(x+h) 2h DEN Dpt LÉ SSÉ ont ces valeurs:

Re ES h? RAS h? BE h?

G=h, G=—s, G=—s,... MR ie 5:

D’après cela il est clair que parmi les équations

qui d’après le $ 56 déterminent L = L,, les — ne premières ne peu-

vent être satisfaites, et les dernières se réduisent à

h=0, Bn—=0,....%—=0, comme dans le cas de # pair; seulement Z, en vertu de ce que nous avons vu sur l’expression de Z, sera remplacée par — Z.

$ 60. En passant à la détermination de la fraction cherchée ee sup-

posons que = 0 soit la première des équations

=, H—=0,....9= 0, qu’on vérifie par L — Z,. Les quantités

CE CRE à RS

er 55 k

en vertu de ce que nous venons de voir, ne pouvant s’annuler, et puisque

n+1 n+1 VERRE n—1 k?

dans cette hypothèse l’équation

ES

sera la première parmi

ul

qui aura lieu pour L — Z,. Mais dans ce cas, en prenant

nous trouvons d’après (31) que la fraction cherchée z se détermine ainsi:

U __ (u— Lo) (x — h) M2 — (0 + Lo) (x + h) N2

LR (x —h) M?— (x + h) N? ?

où 2h = + h?

N To mr fa R?2 In—1

D'autre part, comme les fractions convergentes de

qui correspondent aux dénominateurs

ns ? Un or Rage ne Sas Ile

sont

Pr Pr

QUE) of

et que la valeur précédente de — © peut être mise sous la forme

en désignant par Ps : R i% fraction convergente de

Z= à h? n2 ML +1 nous concluons qu’on aura MP np 1,

Mais en vertu de ces valeurs de M et N l’expression précédente de cs devient

s (uL) (ch) (PCA an (a+ [QC x QC) cp @—D EP Ux,P p—@+ fQ CN (Var

or et

TUE it ste ie LES TRS ETES SLR PATES Re EN PU

D'où, par la substitution des valeurs de

d’après (33), on obtient les mêmes expressions de U et V, que dans le cas

de n pair ($ 54), et dans lesquelles, conformément à ce que nous avons vu ($ 59) sur les équations qui déterminent Z = L,, la quantité L, se trouve remplacée par — Z,.

Ainsi on parvient à reconnaître que les résultats définitifs, obtenus dans la section XV sur la détermination de la quantité L, et de la fraction

À l d ; t applicabl de n impai 7 pour le cas de n pair, sont applicables aussi au cas de n impair.

$ 61. Pour montrer une application de ce que nous avons exposé, supposons qu’il s'agisse de trouver une fraction de la forme

p'an—2 + pl als 4, 4 pi 2) + pr)

pN) œ + pH

qui, depuis 4 = — } jusqu'à x — +, s’écarte le moins possible du poly-

nôme donné

a" + Ag"?