PT

On aura donc, pour l'éloignement z, la formule :

Pour /> = G, on a, en eflct, '| = oo . Posons -^ == V.

L'intégrale

Joe 1/4^'— fi

définit une fonction elliptique dont Finvarianl </, est nul. On écrira alors :

la fonction jd désignant le symbole des fonctions elliptiques.

Mais la formule d'homogénéité de ces fonctions :

permet de remplacer la fonction jd(v ; o^ g^) par une fonction J^[m9 ; o, i) à condition de prendre m = ^g^ et pour variable v J/f/g au lieu de v. On aura ainsi :

A'' ; «. ^3) = vy^ c/^C^ v^î/a ; o, i).

RÉSISTANCE MONOME. — LES CAS INTÉGHABLES Soi

Les deux invariants de la dernière fonction étant

o et I , il ne reste de variable que l'argument v \/ (j^ et par

suite une table à simple entrée donnant la fonction

p{y yg^) en regard de la variable v yg^ permettra le

calcul de l'abscisse. En effel, A étant connu, en fonction

des données initiales, par la formule ^ = -j— , on aura :

et la table fera connaître en regard de p la valeur de l'argument v y^/g, d'où on déduira z^ puis l'abscisse x qui est telle que x = z cos 0.

Rappelons que l'abscisse ainsi calculée est comptée h partir du point ù de la branche descendante, où la vitesse est infinie.

Une table de la fonction jd(v ; o, i) a été calculée par Greenhill (loc. cit.),

2o5. Asymptote verticale. — De la relation A =pv, on tire -i- = p' v ; on aura donc :

Mais (204) on a trouvé :

/-r-n s in H 1

On aura donc :

sin H — 3j[)'v

3o2 RÉSISTANCE MONÔME

Par suite, p deviendra infini pour une valeur v' de v telle que

sin 6 == 3j[>^'.

Elevons au carré : sin^ 6 = 9Jt>'V et comme

il vient : sin^ 6 = 36 jdV — g^^.

.,. , . , 4 — ^^3sin^0 ÎM on remplace marntenant</3 par sa valeur ,

on aura : '

Cette relation permet au moyen de la table numérique de la fonction JL) de déterminer l'abscisse

x^ = V cos H

où p = oo ; c'est l'abscisse de l'asymptote verticale et l'amplitude totale de la trajectoire depuis i2 jusqu'à .

2o6. Ordonnée. — On a :

^=j P ^pdp.

D'après les relations du n' 2o4, on a : -1 I

11 viendra alors :

RÉSISTANCE MONOME. LES CAS INïÉGUAliLES 3o3

Mais p = — : — - — —n — 7- , et si on introduit la valeur v' ^ sin B — .^ji> V

correspondant à Tasymptote verticale, qui est telle que sin 0 = 'i^p'y\ il viendra :

L'intégration de cette fonction ^ se fera sous la forme :

-~j- = — Log <i(v' — v) — a Log <i(av' — v)

— a^ Log <j (7}'/ — v) — 3vÇv' équation où a représente la racine cubique imaginaire de Tunité :

Çv la fonction de Weierstrass dont la définition est

(TV la fonction de Weierstrass dont la définition est

Çv = -j- Log <TV.

On trouve, dans le mémoire de M. Greenliill, la table

des fondions Çv et (tv pour les invariants y., = o el

Comme la variable v représente -^ ou — ~ , on

^ v'' v'- cos H

voit que l'expression de y donne en réalité Téquation de la trajectoire.

* Voir M. Lévy, Précis élémentaire des fondions elliptiques, p. l'iG.

3o4 11ÉSISTA?ÎCE MONÔME

L'expression de y est compliquée d^imaginaires et ne peut par suite être calculée numériquement. M. de Sparre est parvenu à en donner une expression où tous les termes sont réels, mais sous la forme d'une série trigonomé trique *.

207. Temps. — On transformera par le même procédé que ci-dessus l'intégrale du temps

en la suivante :

qui s'intégrera par la formule : .

-^ = — Log <t(v' — v) — a Log <T(av' — v)

— a^ Log <T(a^v' — v) + const.

avec la condition que i = o pour v == o.

Les lettres ont la même signification que dans Tintégralc de y.