Méthodes principales d'approximation

— \ous avons dît précédemment (187) qijc la recherche d'une solution approchée du problème balistique dans le cas d'une résistance monôme et pour les valeurs de n = a et n = 4, où l'intégration directe est impossible, avait

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beaucoup occupé les géomètres. Leurs rechcrclics, ([ui souvent font appel à une anaUsc très ingénieuse, ne sauraient être exposées ici avec détails; on renverra le lecteur aux mémoires originaux où les calculs sont développés. Nous donnerons seulement 1 indication d'une classification cpii comprend les principes de beaucoup des méthodes d'approximation (pii ont été proposées.

2IO. Première méthode. — Si on considère les

équations du mouvement dans l'hypothèse d'une résistance monôme savoir :

a du dz , li^ dz ^ ■ dx=z

K II"" "^ * COS"^ + * t ' (jf cos- z

^ u dz II' dz

dt ^= ; — , (/ V = isz

g cos'z ' (j ^ cos-z

il est évident que si la première équation où les variables

sont séparées permettait d'obtenir tgT et ''- — en fonction

cos-T

de «, le problème tout entier sera résolu.

Le premier procédé d'approximation consistera donc à

poser

y du dz

ba «° "^ ^ " cos=^ z

k étant une constante.

Ce procédé pourra même être généralisé et s'appliquer au cas d'vuie fonction F(i') quelconque ; il jouit des propriétés suivantes :

1° Il est rigoureux dans le cas de /t = i ; c'est le problème traité au paragraplie -i du présent chapitre;

'2° Il sera vrai à la limite, c'est-à-dire pour z tendant vers zéro quel que soit n ; car on a en première approximation (i6()) :

Ç„(.) = tg. + ... d'où —;^ = -^ + ...

3o8 RÉSISTANCE MONOME

Cette dernière propriété le rend extrêmement précieux dans la pratique et son importance est considérable. Il est désigné souvent sous le nom de son premier vulgarisateur, le G*' Didion, quoi qu'il fut connu antérieurement déjà dans des cas particuliers^ et quoi qu'il ait. été depuis généralisé par de Saint-Robert et Siacci. Il fera Tobjet du Livre lY du présent ouvrage sous le nom de « Tir de plein fouet ».

211. Deuxième méthode . — Outre le cas de Çn('c) = tg-c, on a vu qu'on avait réussi à intégrer les équations du mouvement pour une résistance cubique où l'intégrale

Çn(':) = igz -\--~ tg^ T s'exprime ainsi également par des tangentes. Mais les cas de n pair qui introduisent dans l'expression de Çn(') 1^ fonction Log tg ( — — [- — I ne laissent

pas l'espoir de tirer de l'équation de l'hodographe la valeur de tgT ou de u qui permettrait l'intégration des autres équations différentielles.

Il devient alors naturel d'essayer de représenter la fonction Çn('^)» dans le cas de 72 pair, par une fonction en tgT, telle que Çn(T) = a^ tgT + a^ tg'^T, et de cbercher à intégrer les équations différentielles dans cette hypothèse.

On pourra tout d'abord prendre les deux premiers termes

(i6o) du développement de Çn('^) = tg'^H ; T ^n^'^

comme valeur approchée de Çn(T). Mais si on considère le problème sous ce point de vue, c'est-à-dire comme dépendant d'un développement en série de Ça(")> on est conduit logiquement à effectuer l'intégration par approximations successives : on devra donc calculer le premier terme de la série en supposant d'abord Çn(T) = tg-c, puis le second à l'aide du premier. On est ainsi conduit au problème traité dans sa généralité dans la théorie du Tir de plein fouel, lorsqu'on prend les deux premiers termes de la série.

* Méthodes de Borda, Bezout, etc. Voir le Traité, Balistique de Didion, p. 243.

î^'^ïVÎTv '

RÉSISTANCE MONOME. LES CAS INTEGKABLES 3o9

Donc, pour obtenir des procédés nouveaux d'approximation, il faudra supposer que dans la formule

les coefficients a^ et a.< soient déterminés de manière à ce que la formule binôme donne en deux points (ou un

Ï)oint et une tangente), différents de l'origine commune, es mêmes valeurs que la fonction Çn('^)- Les valeurs de rij et a3 pourront donc varier suivant l'amplitude (a, o, w) do la trajectoire étudiée. Comme les deux fonctions sont impaires, il Y aura cinq points communs aux deux fonctions entre l'origine et le point de chute. On peut donc espérer une grande approximation par l'emploi de cette méthode dans les cas malheureusement très peu nombreux où elle pourra être logiquement utilisée.

Exemples d'application de cette méthode.

a) Cas de n = 2 :

i^ Legendre ^ "è^i"-) = fli tg t + «3 tg' z

•1^ M. de Sparre- '^>{'z) z= a^igz -\- n^ tg^x

3^ Examiner le cas limite '%i{'^) = as tg^ t

b) Cas de n = l\ :

i<* M. Zabouski ^ Çj(t) == a^ tg t -f- 03 tg^ t

•2^ M. de Sparre • Ç./t) = a^ tg t -|- a-:^ tg'^ t

3° Examiner le cas limite ^^(t) = 03 tg^ t.