Ordonnée. — Dans réquation différentielle
, u^ di
dy = --tgT
(J ^^ COS^ T
remplaçons tg t par sa valeur principale (2x5)
dz , . . 1 d'z a du et ; — par sa valeur principale : 5 — == — pr •
cos- T cos" T c uï^
Ti . , , . I / J\ udu
Il viendra : dy = — — \ci——j -^ ,
ou bien :
, a udu I udu
Intégrant, avec l'hypothèse y = o pour u'= u^^, on aura :
"^udu 1 /*" udu
cj r^^udu 1 r^
Soit une fonction A(u) (119) répondant à la définition :
udu
frfi,, -
îiV^
et dont la table pourra être calculée une fois pour toutes . Il viendra :
y=î^^— f (A-Aj.
C'est la valeur de V ordonnée y en fonction de la vitesse horizontale u et des données à Torigine. Le théorème sur rinvariant en un point de la trajectoire est cjuc la quantité
reste constante en tout point de la trajectoire.
Si dans la formule qui donne j, on remplace q par sa JA . D — Do
râleur fi
valeur ( tg a
— ^ 1 et SI on remarque que
on pourra écrire :
y =z X [g OL -
A<, - J„ (D - Do)]
Cette équation met en évidence l'abaissement (21
219. Tableau des formules pour un point quelconque. — D'après ce qui vient d'être établi, les formules du Tir de plein fouet ^ premier terme de la série, sont les suivantes pour un point quelconque (i%t) de la trajectoire :
tg T = ^ ^ = '
LES FORMULES T>V TIR DE PLEIN FOLET 3l9
La variable indépendante dans les fonctions J, S, D et A est la vitesse horizontale a = v cos t. La constante q est telle que :
Les quatre fonctions de u qui figurent dans les seconds membres des équations sont les fonctions balistiques de Siacci. Elles ont pour définitions :
/^« du ^ C'^udu n^da /•« udu
F est la fonction F(u) expérimentale.
U est une vitesse arbitraire quelconque.
On a les relations différentielles de définition :
de g du u¥ '
dî> u du F '
rfS I du F '
dA. u du "^ F
2 20. Sommet de la trajectoire. — Faisant dans la première équation du n° précédent tg t = o on aura :
qc = Js,
relation qui fera connaître, au moyen de la table de la fonction J, la vitesse au sommet u^. En portant u^ dans les autres fonctions balistiques S, D et A,
3iO LE TIR DE PLEIN FOUET
on aura les équations du sommet sous la forme : Js = yc clou u^ vitesse au sommet
^s = — ^ Xs abscisse du point culminant.
f s = — ^ Tg durée de trajet correspondant .
Vs = ^[Js(Ds-D„)-(A,-A„)]
^sjlèche de la trajectoire.
221. Point de chute. — Le point de chute sur un sol horizontal étant défini par la condition y = o, on obtiendra u^ en égalant à zéro le second membre de Téquation qui donne j {219).
En portant cette valeur de u^ dans les autres fonctions balistiques, S, D et J, on pourra, à l'aide des tables de ces fonctions, déterminer les valeurs des différents éléments de la trajectoire au point de chute.
On trouve ainsi :
— = qc d ou u,,vf/^55erestantehorizontale.
y Sq, — s^^
\ portée.
ï durée du trajet.
lg(o=^ ^^ angle de chute.
On peut mettre la première et la dernière de
ces
équations sous des formes symétriques qu'il peut êlrc utile de connaître. Remplaçant dans la première q par
tg a H ^ ) et dans la dernière qc par -=^ — ^,
^ ' c I D,, — Dq
il vient :
tsr a — — '= c
tgco=-
uD„
2 2 2. Exercices. — i° Former les dérivées successives des fonctions balistiques relativement à la variable u. On trouve :
d3 du
uF
du'
V(«F'-hF)
d^J die
— '2uFF — 'iF^
dl)
du
"^'^ ' («F F) du' F' ^ ^
d^jy I
du^ F'
[«FF' 'luF^'l + 2 FF
du F
du «f
(/^A I , du' - F' ^^
du' F'
^^^ ^ ('FF' dii' F^^
du^ F3 -
j(«FF'— 2uF^+'2FF)' 1(3«F— F).
2° Former les dérivées successives des fonctions balistiques par rapport à l'une quelconque d'entre elles, par exemple D.
àW
