Cas de résolution par approximation

Un second groupe de problèmes correspond au cas où

IJAMSTlQLi:. H)

les inconnues se trouvent engagées sous une forme complexe dans les fonctions balistiques. Il faudra alors opérer par approximation, en partant d'une valeur approchée de l'inconnue , obtenue soit par un calcul préliminaire, soit par tout autre procédé. Du choix plus ou moins judicieux de cette valeur approchée dépend la longueur des calculs nécessaires : dans certains cas, un développement approprié par la série de Taylor donnera la différence entre la valeur approchée et la valeur véritable ; dans d'autres cas, des tâtonnements plus nombreux seront nécessaires.

Nous allons donner quelques exemples de problèmes usuels.

:>.27. Troisième problème. — Trouver r angle de projection ol, étant donnés Yy, c et la portée X.

Ce problème se présentera fréquemment dans les polygones d'expériences, quand on se proposera, avec un canon déterminé (\y et c étant par suite connus) d'atteindre une portée X, pour toucher, par exemple, des panneaux qui auraient été placés dans le voisinage de ce point. L'inconnue est alors l'angle de projection a.

Or, à cause de la façon dont a se trouve engagé dans les équations du n"" 224, où il figure dans la quantité </ et aussi dans la constante u^^ des fonctions balistiques, de simples opérations d'addition ou de soustraction ne suffiront plus pour résoudre le problème et on est forcé d'opérer par quelque méthode d'approximalion.

La plus simple consistera évidemment ici à faire abstraction tout d'abord du cosinus dans les fonctions

balistiques et à écrire, en négligeant ainsi un terme du second ordre en t :

cX = D(i.) D(V„)

au lieu de

cX = D(u,,)— D(uJ

[JL est une valeur approchée de u,.,.

i"" Ayant déterminé [jl par l'équation immédiatement soluble

D(ix)=cX + D(V„) .

on obtiendra une valeur approchée ol^ de Tinconnue^a en employant la formule du n*^ 221 :

■A(j.)-A(VJ

tg a, == —

LD(i.)D(VJ

où, dans le deuxième membre, tout est connu.

2" Pour passer de a, à a, posons ^ = a,^ -}- £ et

cos a = I — - — . On a la relation rigoureuse :

o = D(uJ — D(ul) — D(V, cos a) + D(VJ

qui s'écrit

o = D(^ - ï) D(fx) D (V„ - ^ V„) + D(V„).

Développons la fonction D par la formule de ïaylor,

bornée a deux termes, en remarquant que —, — ï= — -77 . Il viendra entre £ et a'^ la relation :

2 'JL F,.

Ai

3" Pour avoir une seconde relation entre a et s, recourons à l'équation qui donne ig a (221)

tg a = —

où on remplacera u,. par a — s) et u^^ par ( V^^ ^0) -

11 viendra, en développant les trois fonctions A, D, J par la formule de Taylor et en éliminant e dont on a calculé précédemment la valeur :

\<ry.

^'o(jtx Jq) 1

2 cF„

qui résout le problème.

4" Mais on devra vérifier que Tapproximation est suffisante en s'assurant que les deux équations

cX = D.. — D.

et tg a

1 \^M Ay

i^onl bien satisfaites. Sinon, on devrait repartir de la \aleur de aainsi trouvée comme nouvelle approximation pour les mêmes calculs.

'A'iS. Quatrième problème. — Déterminer t indice airactêristiqiie cran projectile connaissant \\,, a, la portée \ et la durée du trajet T.

On suppose qu'on connaît une valeur approchée c' du coefficient balistique c = c' -{- Oc. — I^e problème a pour but de rechercher Oc.

1" Les équations corrélatives auxquelles satisfont X et T

•'^'^"l = (,' + ùc) \ == DK) - D(«„)

(r' + ôc) T = S>0 — S((0.

Soit [JL une valeur approchée de h„ telle que l'on ait

D(ix) = Do + c'\.

Cette équation fait, au moyen de la table balistique, connaître [jl; on en déduit la valeur ï' de T qu'on aurait obtenue si ôc = o.

On a c'T = S(ul^ — S.,.

2" Mais on a

T^S(aJ — S/

Posons u^ = ;^ — £ et développons par la formule de ïaylor, il vient :

'F. V il'

T S(ia)-S„ ' Te

3" D'autre part, on a

(c' + de) X = D(a — e) — D„

d'où Xôc = £ -^ et par suite

X D(;a)-D„ , X Oe / X

ï~ S{ix)— S„"^[xT c' V^ T

ou bien :

C'est l'équation cherchée.

On doit remarquer que dans ce problème les données sont surabondantes ; en réalité, on ne s'est pas servi de

i3o LE TIR DE PLEI>' FOUET

Thypothèse que X et T correspondaient au point de chute ; le problème se résout de la même manière pour X cl t correspondant à un point quelconque de la trajectoire.

229. Exercices. — 1** Etant donnés Yo, a et X et une valeur approchée de r, trouver le coefficient balistique exact ;

•2"^ Etant donnés a, c et X et une valeur approchée de V,;, trouver la vitesse initiale exactTî.

3° Etant donnés Vq, c et w (angle de chute) et une valeur approchée de a, trouver cet angle.

^3. — Recherche du point de chute

23o. Équation du problème. — Le problème de la recherche des éléments du point de chute d'une trajectoire, quand les données à l'origine V^, a et c sont connues, est de tous le plus important, non seulement pour la préparation des tirs dans un polygone d'expériences, mais encore pour le calcul numérique des tables de lir.

En faisant y = o dans l'équation de la trajectoire, nous avons trouvé la relation (221) :

= qc

ou

Do. — D,

7 = tga + 4^

Cette relation lie les constantes du problème à la vitesse horizontale w„ au point de chute. A la vérité le

second membre de réquation est une quantité connue ; mais dans le premier membre, l'inconnue se trouve engagée dans les fonctions Ao, et D^.

Si on suppose u,, déterminé par cette équation, les autres formules du n** 221 feront connaître par des opérations très simples, les éléments du point de chute, c'est-à-dire X, T et (o.

Pour résoudre Téquation qui donne u^, on peut employer deux méthodes, qui sont les suivantes :

Ao, — A

23 1 . Fonction — . — Une solution très évi-

dente du problème consiste à dresser une fois pour

Ao, ^— A toutes une table de la fonction — . Ce serait une

De. — Do

table à double entrée, ayant pour arguments u^ et u^ et qui, à l'intersection de la ligne a,, et de la colonne a^, donnerait qc.

Si la table est suffisamment étendue pour que l'interpolation double y soit facile entre les valeurs successives de u^ et de u^^ cette solution serait évidemment très pratique. Mais, pour qu'il en soit réellement ainsi, une telle table devrait avoir une étendue très considérable si on veut éviter tout calcul ultérieur d'approximation.

232. Méthode par approximation. — On peut résoudre le problème de la recherche fondamentale de u^ en employant une méthode par approximation analogue à celles déjà utilisées pour des questions antérieures.

Mais, pour qu'une telle méthode soit pratique, et ne conduise pas à des tâtonnements trop nombreux, il est

If;

nécessaire d'opérer un choix judicieux de la valeur qu'on prendra comme initiale et qui doit être très approchée de l'inconnue a„. Si cetle condition est réalisée, une formule simple, donnée par un développement de Taylor, permellra de passer de la valeur approchée à la véritable.

Une bonne valeur initiale sera évidemment donnée

A., — A par une table de la fonction — supposée trop

sommaire pour qu'on puisse y faire une interpolation double bien précise. A défaut d'une telle table, on [)ourra employer le procédé suivant.