Tangente en un point de la trajectoire
— Soit q'\ la tengentc au point q' de
la trajectoire fc, a), dont Tinclinai-
son est T ; 6 l'inclinaison en q de la
■ ... ;^ — œ tangente à la trajectoire (c, o . On a
^"<^ tlTT
tga
tL^e.
Fig. 70.
Or Kci' = x tg T et pp' = X tg a.
D'où x^tg T — tg a) - — \P'l + M) =
Kq' Kq.
PP
On a donc Kq =x tg 8, c'est-à-dire que les tangentes à toutes les trajectoires [c) aux points correspondants à une même abscisse passent au même point I de la verticale de r origine.
D'ailleurs la tangente en q à la courbe [c, 0 se déduirait très simplement de la tangente à la courbe (1,0)
par la dilatation de l'abscisse dans le rapport — et de
l'ordonnée dans le rapport— r^.
239. Trajectoire type unique des trajectoires de plein fouet. — D'après ce qui précède on a ramené à un lype unique toutes les trajectoires «,, = const. Mais il est possible de «généraliser encore le mode de dépendance mutuelle des diverses trajectoires.
En effet, considérons comme trajectoire type unique des trajectoires de plein fouet celle qui correspond au coefficient c = i et à une vitesse u^ égale à la vitesse L arbitra irepient choisie, pour laquelle s'annulent par hypothèse les fonctions balisticjues. On aura, sur cette trajectoire, pour les équalions du n° :i'à6 :
tR-'' = — J,
La trajectoire type unique sera donc construite en prenant pour abscisses les valeurs de la fonction D et pour ordonnées les valeurs de la fonction A.
Les trajectoires type.^ particulières, définies par une valeur de a„ donnée, ^ s'obtiendront par la propriété de l'abaissement constant. Vinsi en M, où -la vitesse a„ est déiinie par la valeur de D en ce point, on mène la tangente Ma telle que Ig t'' = — J ; puis on prend yS = a^. Le point o engendre la trajectoire type (i, o) correspondant à la vitese u^,. On passera de celle-ci à une trajectoire quelconque pai* la conslruction du n'' 236.
240. Propriétés de la trajectoire de plein fouet. — Si on s'éloigne notablemeni de la légion 1res
limitée aulour du "sommet où la trajectoire de plein fouet reste très voisine de la trajectoire réelle, l'hypothèse fondamentale de ce tir '21 3) n'est plus réalisée; il est intéressant cependant d'examiner sommairement quelles sont les propriétés de la courbe totale que représentent les équations différentielles du mouvement (88) où Thodographe réel
di
cos
du
uf:v)
est remplacé par Thodographe du tir de plein fouet
^T g du
COS" T
uF{u} '
Tout d'abord, on démontrerait comme au n"^ 1 14 que
sur la trajectoire de' plein fouet, la vitesse horizontale u va constamment en diminuant dans le sens des abscisses croissant et en augmentant en amont de l'origine. Dans ce dernier cas, u tend vers l'infini, ainsi que v et les propriétés du point Q (120) dépendent, pour Tune et lautre trajectoire, des mêmes fonctions balistiques ; elles ont donc la même forme.
En aval de l'origine, u décroissant constamment, la résistance F(«) diminue. Donc, au lieu de tendre vers une vitesse limite finie, le projectile dont la résistance tend vers zéro se rapprochera de plus en plus de la trajectoire du vide ; au lieu d'avoir une asymptote à distance finie, la trajectoire aura une branche descendante parabolique, et la vitesse du projectile tendra vers oo.
D'ailleurs la vitesse v passera par un minimum déRni par Té^uation
cF(u) -|- jr sin T cos t = o.
241. Théorème. — La trajectoire de plein fouet est au-dessus de la trajectoire réelle.
En effet, on a vu, qu'aux termes en t^ près,J'hodographe vrai peut s'écrire :
COS'T C
du
ou en remplaçant <ï> par
d-z g du I
cos-T c u¥{u) t'^ / «F'
Or, avec la loi expérimentale de la résistance de lair,
uF^ on a toujours -r=;— > i parce que l'exposant de la résistance mise sous la forme B^u? est toujours > i en quelque point que ce soit. Il en résulte que le terme
1 ( I p- 1 est toujours plus grand que 1 unité.
Par suite, en le remplaçant par l'unité, ce qui donne la trajectoire de plein fouet
d'z g du
cos^T c uFfu) '
on prend un coefficient balistique trop faible et la trajectoire ainsi obtenue est au-dessus de la trajectoire réelle, d'après le théorème du n*^ 129. Si /i < I, la proposition serait inversée.
2^2. Théorème de la rigidité de la trajectoire. — La pratique usuelle du pointage des bouches à feu, soit à la hausse, soit au niveau, aussi bien à terre qu'à bord (cas du roulis), est basée sur un théorème dit de là rigidité de la trajectoire et qui s'énonce ainsi : *S^/ une trajectoire a pour point de chute le point P, sous ranf/lemde projection a, pour atteindre un autre point Q situé sur la même verticale et tel que l'angle de site QOP
.vo/7 égal à s, // suffit de tirer avec ^,^,^l-^^;^:iç r angle de projection ol -\- t [^'S^,.
La vitesse initiale V,, est supposée
Fiiç. 7). 1'^ même.
I Dans les limites du tir de plein fouet,
la droite VQ peut être confondue avec l'arc de cercle de centre 0, à un infiniment petit du 3° ordre près, négligeable par hypothèse.
On a vu précédemment {2'iy) que le théorème de la rigidité de la trajectoire était rigoureux dans les cas où la vitesse initiale horizontale u^^ reste constante pour les différenles trajectoires, passant en 0. Lorsqu'on l'applique au cas de trajectoires a^ant même vitesse initiale \ j,, on commet donc une erreur du second ordre
/ a-\ en T', puisqu'on a \o = Uy ( i H J .
Cherchons l'expression de l'erreur ainsi commise.
Soient x, y les coordonnées du point Q, ig s = -^
et a^ l'angle de projection qui permet d'atteindre le point Q.
On a (223,3°) :
\ir c 1 <r rt ■
A[u) — A(^o) LD(a) — D(a,)
^^oy
LES FORMULES Dt TIR DE PLEIN FOUET
Soit a l'angle de projoclion qui permet d'atteindre le point P, tel que OP = x.
On a :
ex = D«' — D(t4)
u,, étant la vitesse restante horizontale, uj la vitesse initiale horizontale.
On a par hypothèse :
D(tt„) — D(u;) = d(w) — D(ao).
Posons :
w« = Il -\r '^,0. ot a; = u^^ 4- 7^,^.
La formule de Taylor donnera la relation :
D'autre part, Tangle de projection a cjui correspond à la portée x sera donné par Téquation (^^21)
. \{u 4- '^t.,) — A(Wo + ^i«) ^/ , x
D(a) — D(aJ
équation qui s'écrit :
== A(a)— AK) D(w) — D(wJ
ctga
y.a["»o(jo — J)
En comparant avec la valeur de a^, on écrira :
tga, = %a+lg£ — 7.«
^«oFo
^(tgo)— tga) + i
Mais
w,) + n.. = V„ cos a.
^:wTr™
d'où :
r,« = ^^, cos a — \, cos a^ = "o ^^^^^ — ' j =:-^ (tg^a, — tg^a) = ^ tg£ (tg£ + 9. tga).
On a donc ainsi :
tga, = tga 4, tg£
--tgc(tg£ + 2lga)^:;- J^(tgco — tga)+ij.
Ainsi donc, on a bien a, = a + s à im terme du deuxième ordre près.
Le facteur entre crochets est toujours négatif, car
' (tg:w — tga) est plus grand que -^ tga, qui est
le rapport de la portée dans le vide à la portée dans l'air et qui est toujours plus grand que Funité. On peut donc écrire
Me (s + 2a),
le facteur M étant positif. Si donc, on tire constamment avec l'angle a. == a + s, on pourra former le tableau suivant :
£ > o les coups sont courts, c z= o — au but.
< 2a les coups sont longs.
— au but.
— courts.
§ 5. — Formules différentielles
