Formules différentielles du sommet
On appliquera une méthode tout à fait analogue en partant des équations du sommet (220) :
r tg a = Js — J,„ c\ = Ds — Dy,
c 1\ = Ss — So, c'^ , = J, (Ds— D„) — (As — Ao).
Ainsi, on différentiera la première de la manière sui- \ante :
tg aOc + cd. = 1 Oa, + -4^ 0«„
re qui en tenant compte de la valeur de
Oa„ = ^\^^ cos a — V^Oa tg a
donne :
I OMc I Oc I d\
tga ' "
J^]l ainsi des autres, de sorte qu'on pourra écrire Tensenible des fornmles du tableau du n^ 249.
3r»0 LE TIR DE PLEIN FOL ET
25o. Remarques sur les formules différentielles du point de chute.
i** Variation ôV^. — a) Le facteur
est toujours positif.
Si g\ < Uj l*^ a, comme tg to est négatif, la proposition est démontrée : c'est le cas où la portée X dans Tair est inférieure h la moitié de celle du vide.
Si, au contraire (j\ > a] tg a, je dis que le quo-
r/X — a-, tg a . ,
tient -, , en y prenant tg (o en valeur abso-
W5tg(o
lue, est < I .
Posons en effet :
f/X — u] tg a < ul tg to
d'où :
rj\ < iï] (tg a + tg w)
2 Ma {^ Cf.
ce qui est toujours vrai, puisqu'on a X < ^^^ , le
2® membre étant la portée dans le vide et to étant > a. Ainsi donc, à une variation positive de la vitesse initiale correspond toujours une variation de portée positive.
b) On ne peut aiïirmer que le facteur (i-\ Z) qui
figure dans l'expression de ôT, ni le facteur ( i -j- ( — ) Z
qui figure dans l'expression de ôw restent constamment positifs, quand la portée est inférieure à la moitié de celle du vide.
Ainsi donc, il peut se faire que la durée du trajet diminue quand la vitesse initiale augmente.
c) La vitesse restante horizontale u„ diminue quand Y,j croît, lorsque la portée est plus petite que la moitié de la portée dans le vide : elle croît avec Y^, dans le cas contraire.
1^ Variation ôol, — a) Quand Oa varie, il n'y a d'ambiguïté possible que sur le signe de ôw. Mais il est aisé
de voir qu'en valeur absolue le facteur ^^ est > . .
U tu' OJ .7
(]ar la quantité —^^—^ — représente la moitié de la por-
léc obtenue en considérant la trajectoire du vide osculalrice au point de chute de la trajectoire dans Tair. Or, d'après un théorème connu (i3i) cette trajectoire du \ide ne coupe plus la trajectoire atmosphérique en aucun point réel en dehors des trois points réunis au |)oint de chute.
Comme cette trajectoire du vide est au-dessous de la
trajectoire dans Tair, on a -^^^—^ — - — < X et par suite r/X ^
/4 tg tô
Uangle de chute augmente donc toujours avec l'angle de projection.
b) On a supposé, dans les démonstra lions, que le sçcond terme qui entre dans la variation da, c'est-à-dire
I -| ^ Z) —^ tg a était du second ordre par rapport au premier, conformément aux hypothèses du tir do plein fouet. Par exemple, il ne serait pas correct de
ÔX
chercher Tangle de portée maximum, en annulant -— par la formule
— + (.+Z)^tg« = o;
cette formule, pour cette application, n'a aucun sens.
c) La vitesse restante horizontale diminue toujours quand a augmente.
'^^ Variation ôc. — a) Quand ôc est positif, les variations apportée ôX ^Xàe vitesse restante horizontale^ sont négatives.
b) Quand de est positif, ôT est positif ou négatif sui-
X t^^ ot vant que T est plus grand ou plus petit que — —
De même, il peut y avoir ambiguïté pour le signe de ôto.
