M' CV COS-T
On obtiendra les équations du tir de plein fouet avec la variable r, en écrivant
il (Iv (h
'. e vY V' cos'^T
et en négligeant par suite un terme -— - siuT th qui est du second ordre en t.
Pour qu'on ne négligeât qu'un terme du troisième
ordre, il faudrait donc cfiie — ^ fut une quantité très
petite, de l'ordre de grandeur de t, ce que nous n'avons pas supposé 2i3\ Cette hypothèse rentre, en effet, dans un autre problème. 77/* leadii à grande vitesse^ Chap. xni.
207. Formules de Sladen. — On trouve, dans quelques Traités de Balistique, des formules dites parfois « de Sladen » qui sont d'ailleurs la généralisation de formules employées depuis longtemps par les balis-
ticiens du xviii® siècle, dans des cas particuliers. On les établit comme il suit :
Si on considère les équations différentielles du mouvement sous la forme (86)
d'oc d~Y
-^ = — cF(y) cos T ; -^ = — g — cF(y) sin t.
la première se réduit à
^ = - cFiv) dt ^ ^
dans le cas où cos t est voisin de Tunilé, car la vitesse se projette en vraie grandeur sur Taxe des x\ il en est de même de la résistance de l'air.
La seconde se réduit à
quand, par suite de la petitesse du facteur sin t, le terme cF siuT, projection de la résistance sur Taxe des j, devient négligeable devant g,
Los deux mouvements sont ainsi indépendants Tun de l'autre et, intégrés, ces équations donnent :
X = , V sin T = Vq sin a — gl
11 y a ainsi un mélange, le plus souvent peu correct, . des deux cas-limites du problème balistique, la colonne
de gauche représentant le mouvement rectiligne ^ == o et la colonne de droite représentant le mouvement dans le vide, cF = o.
Mais, voyons à quelles hypothèses correspondent réellement ces formules. L^équation en x s'écrit :
^ , = cF(v) COST
ou
dt
du , dx ^
cos T ^ V sm T —7- = — cb COS T
dt dt
ou encore à un terme du troisième ordre près.
du
dt
= — cF — 5^ sin T.
Pour qu'on puisse négliger le terme ^ siuT devant cF, il faut que g sinx soit très petit par rapport à c¥. Dans l'autre équation
^p- = -i,-cFs,nT,
pour qu'on puisse négliger le second terme du deuxième membre, il faut que cF sin t soit très petit par rapport à g. Ce sont là des conditions contradictoires en général, hors le cas d'une extrême petitesse de sin t.
Les formules de Sladen ne sont donc applicables que dans l'hypothèse où on a vérifié, sur toute l'étendue de j la trajectoire : i"" que g siuT est négligeable devant cF y\
2'^ que cF sini est négligeable devant g.
sm
On aurait alors :
Somme I,
\ ^ sin a
if
sin a —
Ss
cT,
-i/Tf
Poinl de chule.
T 0 ^^n ot „,
\ ,., sin (o = — \ j, sin a
Sw = So + cT = 2Ss — S„ X ^ Do — Dp
ES i(>>c:ti()>s secondaires
258. Définition. — Les équations du tir de plein fouet, soit sous la forme donnée au Cliapitre ix, soit sous la forme donnée au paragraphe précédent, permettent la résolution, plus ou moins directe et facile •des problèmes de tir par les méthodes exposées aux | 2 ot 3 et au moyen de tables à simple enirée des fonctions balistiques de Siacci J, S, D et A.
Mais, on peut donner à la solution des problèmes de tir le maximum de simplicité qu'elle comporte, par l'emploi de tables à double entrée, calculées d'avance et auxquelles nous donnons le nom frénéral de fonctions secondaires. De telles tables, indiquées d'abord par Didion dans un cas particulier, puis par Siacci dans le cas général ont été calculées par différents auteurs, Bracciaïini, Parodi, de la Llave, etc. Nous donnerons ici la théorie [»énéra]e de ces tables.
