Formules différentielles de la portée
Quand on fait y = 0 dans les équations du n^ 268, on obtient :
c'/i-^(tga — tgco +1 =<p "
c'^^^^^'^Xlga = ' y->-" — i) î(cp--n,)
(f ^ in — 2^^ ^ ^ Ji — 2^ ^
En remplaçant dans le second membre de la dernière équation <p"~" par sa valeur tirée de la deuxième équation, c'est-à-dire en fonction de X, et ç~^ par sa^valeur tirée de la première équation, c'est-à-dire en fonction de (tga — tgco), on arrive, après quelques réductions, à la formule
c'< [(/i — 2; tg co -f n tg a] X = lil (tg a — tg co) — g\.
On peut faire l'application de cette équation aux formules différentielles du n^ 249.
On trouve que
5rX— ajtga
a pour valeur
c'iil-'
tof a n — i-\-n -^ —
de sorte que, pour le cas de F(i') = B„t^°, les formules difTéronlielles sont les suivantes :
\ tgcj/ c
tg ti),
X / tî^ a , ^.
-{-[n — 2 + /t ~ — I A te: a ■
tir io \ ta: w/
da.
Exercice. — Trouver directement ces é( [nations en partant des formules des n^^ iGS ou '269.
Théorème sur ranrjle de chute. — On a démontré que le facteur (i + Z) ef>t toujours positif (200). On a donc :
tgw
Soit co' la valeur absolue de Tangle de chute ; on aura :*
Ifi^a tga // —
n -+- n -^^— , > o ou — — : >
lgo3 tgcj n
et par suite
(or ^/ ^ i
Ainsi,. CaïKjle de chute o/ satisfait toujours à la douljlc inégalité
tg a < tg o>' <
tg a.
tiî a
Si n ^ 2, Tinéo-alité 2 — /? — /i -^^^ — > o est satis-
faite d'elle-même ; le théorème ne s*appru[ue donc pas.
lUI.lSTlQt 1
386 LE TIR DE PLEDî FOUET
274* Résumé des formules de tir pour le cas d'une résistance monôme (tir de plein fouet)..
n = 2 5 = cB2 — r-)^
\COS- [i./
ou 5 = ^1^
I II = «0 e~ ?
Point J (7a; I
quelconque J tg t := tg a — ?— — (e^^ — i )
; r =xigcL — — ^ -—r (e-5 — i — -i^)
Point ) ^ O
de chute ] tg<o . ffX i
tga \^smt4a ^ ^ '
cos X cos a^
cos^ [i. y
ou 5=6;iYo.T
n = 3 5 = cB, ( ,,„3 .. ) V„ X
« = Uo
Point » H„ V '■* /
quelconque 1 </« / .^ • ^j
' ' tgx = tga'— |j (^.+5+ — 5-
ga;2 / a
•'' =^tga-|-, . + -^5+6-5^,
FORMES DES ÉQUATIONS DU TIR DE PLEI?i FOUET 38;
Point de chute
tga V^ sin 'lOL , 2 ^ i ^^9
\î sin 2 a
\ COS* [JL / •* ou 5 = ^4 VJ X
Point quelconque
tt = «0
gx
Point de chute
Uq
qx^ l 2
^tg» — 7;^('+-5
tga
VoSin2a^ ^ '
•Mi+D)
V^ sin 2 a . '■* /v
275. Trajectoire de Piton-Bressant. — La trajectoire de Piton-Bressant est l'équation du 3® degré :
y = xigcx. ?^^ , (i + KY^x)
2\q cos" a ^
où Iv est un coeflicient constant.
Elle peut être considérée comme la trajectoire de plein fouet d'une loi biquadra tique, n = ^^ et elle est identique avec la formule donnée au paragraphe précédent
y = x tg a -r^ j— I + — 5
2Vôcos-a \ 0 j
k condition de poser
T^'o 2 1^ /cos A cos'^ a \ ,, K\t = -^ cB, -j^ Vo' .
O \ Ct)S' UL /
Mais de plus, l'équation de Piton-Bressant suppose que K est indépendant de l'angle de projection a. On prend donc :
cos X COS" a I ^ Il : =1 et on a : Iv == -rr ^B..
cos' |JL o
Cette équation a eu une fortune des plus heureuses ; offrant le maximum de simplicité après celle du vide, elle correspond à une forme F(i') = B.^' de la résistance de l'air qui, ainsi qu'on l'a dit (fa), lorsque les vitesses initiales ne dépassaient pas 5oo mètres, était des plus satisfaisantes.
Cette formule a donc pu donner des résultats excellents dans la pratique et on l'a vue se prêter à la représentation suffisante .de très nombreux tirs balistiques.
Les méthodes empiriques, longtemps en usage à la Commission de Gâvre, ne pouvaient donc prendre une base plus solide que l'équation de Piton-Bressan t.
La discussion de cette équation, sa comparaison avec les résultats d'un très grand nombre de tirs balistiques, l'établissement des formules pratiques qu'on en peut tirer, constituent les bases essentielles du Traité de Balistique expérimentale de MM. Hélie et Hugoniot en ce qui concerne la Balistique Extérieure.
Les formules pour un point quelconque et pour le
point de chute sont celles du n° 2^3 [n = 4) où on
remplacera 5 par — KVo.x.
exercices. — i^ Etablir les formules du sommet de la trajectoire ;
•1^ Établir les formules différentielles donnant
ax dX ÔX,
V Prenant pour variable (Gâvre) la quantité z telle que
Vo sin '2 a
exprimer, en fonction de cette variable, les éléments du point de chute, du sommet, les formules différentielles, les facteurs de tir.
On peut remarquer que le choix que fit le colonel Siacci (2 55) de ses deux coefficients cos A et cos jjl paraît avoir eu pour objectif de faire coïncider ses formules de tir avec la formule de Piton-Bressant pour
/î = 4. A>ant choisi en effet cos u. = cos a, la formule
cos À COS" a . ^ '■ ^ : ^= I impose cos k = coS" a, ce qui est
cos* [Jl ^
bien l'expression adoptée pour le coefficient de Siacci.
Valeur deKà [onijine. — Le tracé de la courbe des K en fonction de la portée X fut pendant longtemps Tintermédiaire nécessaire adopté par la Commission d(^ (jrâvi^ pour le calcul numérique des tables de tir. Examinons sommairement comment varie la fonction K dans le voisinage de l'origine.
On a (i4^}*> pour le cas du tir horizontal :
Yo sin 2a 4cFo
