Ordonnée

li^ (k

dy =

— Dans l'équation différentielle

— tor T on remplacera te; t et — 5— i>ar

g cos T '^^^'' ^

COS

leurs valeurs en conservant les termes en t*.

En ne conservant alors que des termes en t* dans y dont le premier membre est, comme on sait, du 2® ordre en T, il viendra , ,

, / J \ u(/u 1 iidu

dy=-U,--) —

l(J"-Jf)

En intégrant, on aura la formule suivante

Vy^[A' — Aj — JJ(D— D„;i

— |[a"-a«-j:'(d-dJ

+ ' [A"'-Aj"-Ji"(D-Dj

Dans celte équation, s'introduisent trois nouvelles fonctions balistiques, ayant les définitions suivantes :

282. Résumé. — On a donné aux n"^ 277, 278, 27c), 280 les formules qui font connaître les éléments d'un point de la trajectoire défini par sa vitesse horizontale w, en fonction des données initiales w,,, a et c.

Le développement néglige des termes de l'ordre de t'.

Pour résoudre numériquement le problème, il suffit de dresser une fois pour toutes, avec la fonction F> expérimentale, la table de (^/oar<? inlérjrales^ ou fonctions balistiqaes du second terme. Ce sont les suivantes :

j\ j", J"S pour V inclinaison ; SS s", S"\ pour le temps ; D^ D'\ D""^', pour V abscisse ; A\ a", A"\ pour Vordonnée.

•283. Exercices. — 1° Dans rcxprcssion de

ii¥

ligure la dérivée F de la fonction F; mais les douze fonctions balistiques du scconel terme peuvent s'exprimer au nioven de la fonction F scnlc.

DEUXIEME TERME DE LA SERIE

Démontrer, en ell'et, qu'on a

V{u) F(UjJ

1 qo I " cm

1 , g J^ r Jdu

LF(«) F(Ll|

U , r^ da J F + j,. 3 F-'

Fc/m

w- , /*" udii

1 II- , r^ J«f/ll /

rl^ J^ H(/«

7*^ F— j,- nr-+:j, !/-F-

.imLj

.'Il

•" J^^' udu

'2. Développer les l'onctions balistiques du second lenne en série.

Posant

'2«oFo \

«oFiX

Fo;

(S-) r~~wi f "'^^ ^" "" '"'^^' + "^''^^"^^ + ^^^

On trouve

fa— «)- /çff\ i.'2 \du/ Q

etc.

■^. Déinoiilrer que, dans le cas de F{v) = B^v^, l'équation din'crcntielle de Inodographe s'écrit :

dz (f du , i — n , c/t

cos- -:

c iiF

cos- T

et s'intègre par la formule :

tg T = Ig a +

Jo — J . I

+'^-(r^(tg"^^-tg^«)

i. Trouver l'expression des fonctions balistiques du second terme dans le cas de F(i') = Bn^^^, avec U = qo .

TU — (^^~ ')^' p ^^" ^ ^^— I 2^ J__ !Lzii

"^ ~^ nBl X H-'^-^ 2^1^ BS a-^"""~ -2

DEUXIEME TERME DE LA SERIE

n — 1 /^^dii /i-t-i 1 n — I

(n — i)g r^du n — i g i

4oi

-i)g r^du n — 1 g i (n — i)^

(n — i)g^ f du n — I g^ i

Di=

/^ ' r^ du n — I I I /i— I

[n — i)^ r^ du n — 1 g i

nB'i J^ i?^^"" /i(2Ai— -2)"BÏli^^^2

T^in__ (^—^)f r du ^ /i — 1 £ I

■~ 'in'Bl J^ u^^-i •2/1-^(3/1— 2) *B? «311-2

Il — 1 g r^ du '111 — '1 g 1

==(/l '2) JD

n — I g- r du -m — -i g- i

'^'^ "1? B|j^ '!F^'^ n'{;^n^^l)^il?^^'

I /i — I g^ r^ du I n —

I /i — I g^ r^ du

-jOi

j. Dans le cas de F(v) = l^n^'N établir le développement en série en fonction des puissances de tg -z.

On part des équations de la théorie d'Euler (iGi)

nb„u

Posons /i = IgT. On anra, ponr lo dovcloppcnient do Çn('c) on sorio :

On écrira par suite

nbn

Q " + -;^Q »''in

i.jt/^

ou bien, en remplaçant Ç,i par son développement, borné aux termes en p^

/tQ

On aura de même :

."î-nQ,

ni^

li'Q

nHV

DEUXIEME TERME DE LA SERIE

On portera ces valeurs de 11 et de u- dans les équations du mouvement

g cos^ T

g cos-^ z

. U' dz u-

^(x = — — tg^ -z::fz = — — w

g ^ ' cos-z

et on intégrera de p h p^ c'est-à-dire de t à a. On arrivera ainsi aux formules suivantes :

iiQ ^ ' ri'Q' i.'2 n, — 1 (/i -|- 1) (/i + •2)\ /r*

gt ^p,—p-+-

' Pl—P'' , «+i/^o~F'

/iQ 1.2 ' /i-Q- 1.2. '3 /i — I (n+ i)(n + 'i)\pl — p'

iiQ

ti'Q'

ga:=p,-p+ —

(,l — i) (,i + .2) (2/4 + 'l)\ pi — 7>'^

'/ife

PÎ—P' , '^-'^Pl—f , ■2.:3(n+i)7>^ — //-