Le problème des facteurs p de Siacci

Ecrivons les équations du tir de plein fouet du n*' 252 en V faisant d'abord cos ul = i de la manière suivante :

t-T=tga+-^

epD '

^Pi

y=a;tga— -^[A— Ao— Jo(D— Dj

Le coeflicient cos a a été remplacé par quatre facteurs Pj? Ps^ Pd^ et Pv Ces quatre nombres sont tous différents entre eux et convergent vers Funité ; pour des angles de projection suffisamment faibles, ils peuvent être remplacés par i .

ri.'-

Mais quand a croît, ils deviennent des fonctions différentes des troi* données à l'origine V^^, a et c et de la quatrième quantité qui définit l'autre extrémité de l'arc.

Il est bien évident que la détermination de ces quatre facteurs p revient à celle des termes successifs de la série du tir de plein fouet et qu'ils sont connus, pour le point de chute par exemple, à un terme de l'ordre de t^ près, d'après les équations du n" 284 qni donnent le second terme de la série.

C'est d'ailleurs aiiisi que le colonel Sîacci s'est posé le problème. Nous citons ci-dessous Tinlroduclion à la note VIII de son Traité de Balistique.

« La table balistique, avec les formules qui s'y rapportent, n'est j)as toute la solulion du problème balistique. Elle en est toutefois une grande partie, qui est déjà suffisante dans la plupart des cas pratiques. Pour la compléter, il faudrait déterminer les fondions. p qui entrent dans ces fonuules. Ce n'esl pas une question facile, mais cVsl une question d'anaUse : or l'analyse, qui a résolu des problèmes bien plus difficiles et complexes, a bien assez de puissance pour résoudre encore celui-ci, si Ton ne donne pas trop d'importance à l'économie des calculs. L'économie des calculs ne doit pas trop compter dans cette question, si l'on parvient à en présenter les résultats aux praticiens dans une table où ils puissent puiser les nombres nécessaires à la solution des problèmes de tir.

(( Nous présentons un essai de ces calculs dans cette note. Nous ne nous flattons pas de donner la solution définitive d'un problème qui, même dans les cas les plus particuliers, a résisté à beaucoup d'efforts ; mais

DEUXIÈME TERME DE LV SÉRIE 4l5

il nous semble avoir ouvert une voie à la solution générale et avoir même fait quelques pas dans cette voie.

« Il va sans dire que cette vaie se trouve dans la région des séries, car les formules balistiques impliquent inévitablement des fonctions transcendantes qui ne sont au fond que des expressions abrégées de séries. Nous allons donc montrer comment on peut calculer ces fonctions p au moyen de séries ordonnées f^mxdLni \os puissances descendantes, du coefficient balistique. »

Le problème que le colonel Siacci se propose ainsi de traiter est celui que nous avons résolu aux paragraphes I et 2 du présent chapitre et qui donnie le second terme de la série.

Mais si on remarque que le coefficient balistique de Siacci est l'inverse du nôtre, on voit que, dans ses recherches, ce savant balisticien devait aboutir, non à la véritable série du tir de plein fouet, mais à celle qui représente, par ses premiers termes, la solution du problème balistique dans le cas où la résistance de Pair est très petite, hypothèse qui conduit au développement en série suivant les puissances de c ; ce cas sera traité plus loin (livre V, chapitre xn , et il n'est point du tout compatible, en général, avec Thypothèse du tir de ])lein fouet i'2i3 .

'2Q2. Détermination du facteur Pj dé Siacci. —

Si, avec Siacci, on admet qu'en première approximation on peut prendre tous les facteuis P égaux, il sufhra de savoir calculer l'un d'entre eux. Or, il est ])ossible de déterminer le facteur pj par exemple.

:\l.\ LE TIU DE PLE1> FOUET

Si on ('(Mnpare les doux expressions et

el qu'on \enil]e que, pour la même valeur de t, on ail la même valem- de u, il \iendra en relranehaul membre à membre

- = ï — — 'f ;j -JJ. -~ ;j"-Ji'; +4( j"'- jrr

P.i J— JoL

On pourrait donc calculer p,,, |)our un point quelconque de la trajectoire, en connaissant seulement les trois lonctions j', j" et J^", supposées calculées avec la fonction K'r expérimentale ^282 .

On pourrait de même calculer p*^ ou p,) en connaissant seulement les 3 fonctions S^ ", '" ou d', '\"'.