LE TIR TE>'DU A GRANDE VITESSE
3 1 1 . Détermination des fonctions. — En formant gy'.j et portant s'a valeur ainsi que celle de gy'^ dans l'équation différentielle, puis en égalant à zéro les coefR-
9 /9\^ /9V cients de — ,( — 1 »() •••, on trouve les formules suivantes :
îrn7 + v^Yi(-Ç-.)=:o
+ pï="
i>*Y.;' + v^Y', (-y — , ) + -21. Y', y:, - Yf + -^
^3Yl' + i;-^Yl(Ç-i)+P
P est une fonction de v connue quand les équations qui précèdent ont été résolues. Or, on sait résoudre l'équation dilîérenticllc générale :
L'intégrale de l'équation sans second membre est en effet :
K étant une constante.
Considérant K comme une fonction inconnue de v et la portant dans l'équation différentielle, on aura :
dK FF
dv v^
et par suite :
r PF
V V r^ FF
i42 LES TROIS SKRIES BALISTIQUES
Pour déterminer la constante K, il suiïit de rapprocher les deux séries écrites à la lin du numéro précédent, qui
V sm^T
donnent Yn = ( — i)" ^^
Pour i; = Vo, on aura
,. , .„ sin"a
ou K„=(— l)«-:;^^3p-.
1° Calcul de YJ et de Y^. — Faisant P = o dans la l'ormule générale :
ïa - JV„ p - p J^^ ^, .
il reste Yi = Ki -rr = — sin oc -p- •
On aura donc :
Y, = — sin a / -p^
c'est-à-dire :
Yi = sin a (D — Do).
2^ Calcul de Yi et de Y2. — Faisant
il viendra :
sin-a V ^ • > / ^ ^ \ '' ^os'a
, ^ V cos^g V ^ sm-a -pr — -p- (Jo— J).
LE TIR TE?ÎDU \ GRAIVDE VITESSE
Intégrant, pour avoir Y2, on obtiendra :
. ' ^ r^ ^dv cos-a r^ vdv , cos-a /* Y2 = sin-a/ -jTT Jo / -t?" H /
c'est-à-dire, en introduisant les mêmes fonctions balistiques (|u'au n° 3o6 :
Y. = sin-a ((Oo — (D) —
cos-a
;jo(Do— D) — (Ao— A)].
*i° Premiers termes de la série.
Comme
y = ^+iY.. + ...,
on aura :
/ = sm
cotg-a
Jo (Do— D) — ■ ( Ao — A) + Ot)o — Ot)
(]'cst exactement la formule qui donne y au n'' 3oG. 5®.
3 12. Autres éléments. — On a les équations différentielles :
du
cos
V cos z l 1- sin T
V cos z dv
dv
-\- sin T
-\- sint
Mais, çl'autre part :
F a/ cF c ''^\c) '
sinT
il „+l.Y.+ (^^lY- +
d'où :
LES TROIS SERIES BALISTIQUES c¥ . CF V
sm T
Les formules deviennent donc :
ch dv
cos-T dx
cosT cl
fc[«+f^i+(f)"v;
= -^cos{.+ fYl+(f)N-^ + ..;
De la formule qui donne sinx, on déduira sin-T, puis I — sin-T, puis, en extrayant la racine, cos t développé suivant les puissances de 1 — J . Portant dans les équations cidessus, faisant les calculs et les réductions (le nombre de termes voulus en — étant conservés), puis remplaçant YJ ,
Yo... par leurs expressions connues, et enfin intégrant, on aura le développement de tgx, x et t suivant les puissances ascendantes de l'inverse du coefficient balistique. Ces formules coïncident avec celles du n** 3()6.
3i3. Sur la convergence.de ces séries. — Les
formules du | i ont été obtenues explicitement en supposant que -p- est une quantité petite. La convergence des séries serait donc limitée aux points de la ti^ajectoire où
Le colonel Jacob, au contraire, dans les formules du § 2,
cF
partant de l'hypothèse que gy[^ est égal à ^
SlUT
• f JL
