SUIT

et en développant par la formule du binôme, il vient :

•^^ g sm T

On a donc :

smi

et par suite, à l'origine : (Zi')o = y

On aura donc : ^"^ ^

V5 + Q = VJFS -.ppj = VJ sin^a

d'où

Gi ^ VJ COS^ a = — M*.

47'^ lES TROIS SÉRIES BALISTIQUES

Il on résulte que

et

Ainsi donc, on aura :

La série qui exprime r eu l'onction de r, introduit donc des fonctions balistiques nouvelles ; mais de même que par la méthode suivie précédenmient (Hi j) s'introduisaient des fonctions de t et de Uo, de même les fonctions balistiques introduites par la méthode du colonel Jacob renferment outre la variable v, la constante Uq.

Des tables à double entrée seraient donc également nécessaires pour résoudre le ])roblème balistique dans le cas du tir courbe à faible vitesse.

On peut d'ailleurs passer des formules ci-dessus du colonel Jacob à celles qui ont été établies précédemment (3 1 5),

Exercices. — Nous ne poursuivrons pas plus loin le développement de cette intéressante méthode; nous donnerons seulement à titre d'exercices les résultats principaux obtenus par le colonel Jacob.

i" Pour déterminer le second terme, on a l'équation privée de second membre

qui se résout par la formule

W- — li^lY

Ci sera déterminé par la méthode de la variation des constantes ; on écrira :

dG> I v'F'

• G,= f\v'^—ul)ï v^FF'dv,

dx uV

2^ x'o désignant -7- et /[. = j- ^ démontrer la formule

^9^ Posant :

gx'. = Xl, + ^X, + Q'\i

démontrer que

uVn sin a

(u- — vl sin^ a)?

i" On a :

et par suite :

cvFt', = '-Z[-\-(~yZ!,+...

4** Si on fait «(, = o, on se trouve dans le cas du mouvement vertical ascendant ou descendant. On retombe sur le développement en série indiqué au n^ 82.

r^" V'Fdv 5^ Montrer que pour F(v) = BnU", la fonction / p

ost intégrablc si n est un nombre entier et qu'elle ne dépend

plus que du rapport

Hq

Wi. Méthode de Siacci. — Dans le problème dit des facteurs jide Siacci (ii8<)), nous avons dit que cet auteur avait considéré la série développée suivant les puissances ascendantes du coefïicient balistique, c'est-à-dire la série du tir courbe à faible vitesse. ^ oici comment il conduit les calculs :

L'hodographe d{v cos t) ==- vF(v)d'z

sera d'abord écrit identiquement

d[v cos t)- = '2 — v-F(i') cos 'z d'= — i>(v) cos t d-z.

Soit posé 1»-= '^(t) c'est-à-dire v exprimé en fonction de t. Si nous supposons que 'i/(T) est développée en série de

Mac-Laurin sui\ant les puissances ascendantes de - ^ on aura : 9

, ^ ^ c (d'W . c^ I /ci-^}\ , c^ 1 /d'^\

On aura donc :

l L(}^] ^^ 1.1 3 \ dc^ / 0

le"

coszdz.

En identifiant les termes qui multiplient les mêmes puissances de -, on a

d cos- T àoiy) = o

d cos- '^ {-j-j = <î>o cos -ï dz.

COS T dz

a COS- T ( -7— ) = S (--7-- 1 COS X ax.

La première équation donne :

cos^ z •%(':) = const.

c'est-à-dire