V- COS- T = V5 cos"^ a

r^a deuxième donne

COS

et comme

*„(t,) = hv'-F(v)l = '1 -^ F {—

,"^ ^ '- ^ ^-^" COS- t \COS T,

on trouve

0 COS- zjff^

de/ 0 COS- TJa \COS T/COS T

c'est-à-dire en se reportant aux notations du n° 3 14.

Les deux premiers termes de v^ = 'j'(':) seront donc

«^ = «;+•. y «5[ii(.)-i(a)].

ce qui est bien l'équation du n^ 3 14. Exercices. ' — 1 ^ Trouver le terme en —

'1^ Trouver par cette même méthode les développements de /, aï et j.

334. Exercices sur Tangle de portée maximum. — i^ Le calcul numérique montre que la valeur pour laquelle £ s'annule ('i'i*i) est très voisine de 3,4142...

soit '2. + Y'j. . Elle est probablement égale à ce nombre sans qu'il en ait été donné encore de démonstration rigoureuse.

'1^ Démontrer que s ne devient jamais négatif pour des valeurs de n supérieures à 2 -)- y 7. . On pose

Kn = (n- 4- n ^ 4)?ii — ni 2

et on démontre que K^+2 — j^^ ^g^ positif pour des valeurs

de/i > 4. D'autre part, entre 2 + v 2 et 4 +v 2, on démontre le même théorème en dérivant K^ par rapport à n. On a

R;=.(2/i + i)Ç, + (n2+ n- 4) Ç;-(i+nLog2)v/2-^^ et

cfgn __ d r di r dz

dn ^dnj cos"^* "^ J cos-^+'x^^^ ^""^ ''

= — ÇnW Log cos 1 —j Çn(T) tg T dz

(Siacci).

3° Théorèmes du colonel Astier. — Les propriétés établies dans ce chapitre sur l'angle de portée maximum dans le cas d'une résistance infiniment petite de la forme F(u) = Bui'", constituent à peu près tout ce qu'on connaît actuellement de rigoureux sur le problème du maximum de portée.

Le colonel Astier ^ a fait paraître une intéressante élude sur la question. 11 a cherché à distinguer les cas où l'angle

de portée maximum est plus grand ou moins grand que — ;

mais sa démonstration suppose implicitement que la résistance de l'air est très petite et que l'angle cherché est très

voisin de — \ Cela revient donc aux théorèmes démontrés ici.

* Bévue (rArlillerie, tome IX, 1877, P- ^i^*

Dans une autre partie du travail, le colonel reclicrclie les conditions nécessaires pour que l'angle de portée maximum aui soit plus grand ou plus petit que Tangle de projection À auquel correspond un angle de chute ( •; ). j . Prenant la trajectoire en coordonnées obliques (94) sous la forme

il démontre les théorèmes suivants :

a) Selon que j^ est positif, nul ou négatif, Tangle de

portée maximum est supérieur, égal ou inférieur à )..

6) Selon que l'exposant n sur toute Tétondue de la fonction F(i;) est supérieur, égal ou inférieur à l'unité, l'angle de portée maximum a^ est supérieur, égal ou inférieur à a.

Ces deux théorèmes ne comportent pas la restriction relative à la résistance infiniment petite; ils sont vrais dans tous les cas.