VARIABLE V

COS

x = -!^ (iga

cos

X pour T compris entre -j et — —^-

lion du théorème de la constance de la vitesse horizontale.

Exercice. — Prendre comme variable la vitesse verticale i>y = V sin T ; on a V(j = Vq sin a. Les formules sont :

for T

— tg'^;<=r î^o — ^y ;^ = — cotg a (Vq — Vy);

Vo ^v

20. Équations intrinsèques- — Si on projette les forces qui agissent en un point de la trajectoire sur la tangente et la normale en ce point, on sait qu'on obtient les équations différentielles dites intrinsèques de la trajectoire.

On aura sur la tangente :

/ • et sur la normale :

Fig- 5. = g cOS T,

r étant le rayon de courbure au point M. , D'après ces équations, on voit :

1** que -TT s'annule pour t = o (sommet de la trajectoire). La vitesse v passe donc par un minimum. En effet, on a

d^v dx ., cos^ t '

—TT- = — Q cos T —7- = cr

dt"" ^ dt ^ V

c'est-à-dire une quantité positive.

2° que le rayon de courbure /* = est

^ ^ (j cos T

minimum au même point, puisque d est minimum et

cos T = 1, maximum. Pour la valeur r^ du rayon de

courbure au sommet, on a : r. = ^ ou en vertu

du théorème de la constance de la vitesse horizontale

Trajectoire du vide

21. Équation de la trajectoire. — Dans le tableau du n^ 19, Texpression de y en fonction de x

[^'''colonne, 4"" ligne] représentera la trajectoire ; c'est l'équation 1^ a? suivante :

ac

j = o; tg a —

Fig. 6.

La trajectoire est une parabole à axe vertical dont la tangente à l'origine a l'inclinaison a.

Par un déplacement parallèle des axes de coordonnées, il est aisé de mettre cette parabole soùs la forme réduite. Il suffit, en effet, de poser :

a? = — -' tff a — X.

et

En substituant ces valeurs dans l'équation de la trajectoire, on obtient l'équation :

Xi — " y. .

La parabole se trouve ainsi rapportée à son sommet.

Ce point est aussi le sommet de la trajectoire qui se compose de deux branches symétriques : la branche ascendante^ allant de l'origine au sommet, et la branche descendante située au delà du sommet.

S'il n'y avait pas de pesanteur, le projectile suivrait

a6 LES CAS LIMITES DU PROBLÈME BALISTIQUE

constamment la ligne de projection, c'est-à-dire la droite y = ig CL. L'abaissement H est la quantité dont le projectile est tombé au-dessous de sa tangente initiale; il a pour expression

QCC I

H = ^-^- ou encore H = — qt^

d'après l'expression de t en fonction de x (tableau du n** 19, col. 3, lig. 2).