Directrice et foyer. — On sait que lorsque
une parabole est mise sous la forme réduite x^ = 2/)j,
la directrice se trouve à une distance du sommet égale
Or, nous avons mis Féquation de la trajectoire sous
Oïl" «2
la forme réduite x] = — -y,. On a donc p = — .
La directrice se trouve ainsi à une distance verticale
— ^ au-dessus du sommet. Mais le sommet lui-même,
d'après le changement de coordonnées qui a été fait (21)
ni se trouve à une distance — - tg^ a au-dessus de l'origine
de la trajectoire. ^
Par suite, la directrice est à une distance
I + tg^ a)
Vo
au-dessus de l'origine. — - est la hauteur due à la vi- Icssc \\, c'est-à-dire la hauteur h à laquelle s'élève le
projectile quand il est lancé verticalement de bas en haut avec la vitesse V^.
L3 foyer de la parabole se trouve à une distance — au-dessous du sommet. ^
23. Vitesse du projectile en un point. — Puisque, sur toute la trajectoire, la vitesse horizontale u est constante, on a, en un point d'inclinaison t :
V^j cos a
cos T La vitesse qui est infinie pour t = — , extrémité de
la branche ascendante, en amont de l'origine , décroît jusqu'au sommet où t = o et Vg == «^. Sur la branche descendante, t devient négatif et la vitesse v croît juste qu'à l'infini, pour t = , en repassant par les
mêmes valeurs que sur la branche ascendante, pour des ordonnées égales.
On peut encore écrire directement, en appUquant le théorème des forces vives u^ = Vq — o.gy,
La vitesse du projectile au point y est la même que s'il était tombé de la directrice, c'est-à-dire d'une hau-
teur — ' y-, ^^ partant de cette directrice avec une
vitesse nulle.
24. Formules du sommet. — Le sommet est défini par la condition t = o.
Les 6 quantités qui subsistent dans les équations du tableau du n° 19 sont alors :
aS LES CAS LIMITES DU PROBLEME BALISTIQUE
Données. . w ^ i^^^^^v. \i^ r^.^^i^ ] c.-à-d. V^jCta.
Uq vitesse initiale hori- "^ ) zontale. (
i tg a tangente de l angle i \ de projection, j
Xg abscisse du sommet.
j Yg Jlèche de la trajectoire.
Inconnues. . j^ ^^^^^ ^^ trajet correspondante.
f Vg vitesse du projectile au sommet.
Comme on a Vg = a^, il n'y a pas lieu de considérer la quantité Vg comme une inconnue dont il soit nécessaire de donner l'expression. Il reste donc 3 inconnues. Chacune des 5 quantités u^^ tg a, X^, Yg, T^, est déterminée en fonction de deux des autres, de sorte que le nombre des formules possibles est le nombre de combi-
naisons de 5 objets pris 3 à 3, c'est-à-dire — '■ — -^ =10.
Mais, comme il se trouve que dans Tg et Yg, les deux quantités u^ et tgof sont engagées seulement sous la forme du produit u^ tga, on n'aura point
T, = /,(Y„«,)etT3=y;(Y„.tga), mais seulement Tg =/3 (Yg) équation obtenue en éliminant Uq tg 7. entre T^ et Yg. De plus, il n'existera pas de relation f^ (Xg, Yg, Tg) == o à cause de la dépendance mutuelle de Yg et Tg. Donc, au lieu de 10 combinaisons, il n'existera en réalité que 8 formules distinctes.
Les huit formules du sommet sont les suivantes :
Xg = — tga.
T J^ tc^ ^ — 2^ — V"^^ ^g ^ '~ 9 ^ ^"o~ . 9
Yg = ii-tg^a= 25^=2^ tga=^--^^T^
^g 2UÔ 2 ^ 2 "^
On a en plus Vg = u^.
On peut remarquer que Y abaissement Hg du sommet est égal à \ai flèche Yg.
25. Formules du point de chute. — Le point de chute est Tintersection de la trajectoire et d^une horizontale passant par la bouche du canon. Il est défini en faisant y = o dans les équations du tableau du n*» 19.
Appelant w V angle de chute ^ Téquation (col. i , ligne 4)
donnera pour y == o : tg^ a == tg^ to d'où tg 0) = it tg a.
La trajectoire rencontre Thorizontale de la bouche aux deux points correspondants à to = zh a. Le premier Cl) =: + a est Torigine ; le second co = — a est le point de chute.
Si de plus, on remarque que la vitesse restante V„ est connue, puisqu'elle est égale à la vitesse initiale V^^, on doit dire que, dans le problème de la recherche du point de chute ne figurent que quatre quantités susceptibles de se combiner en formules :
u^^ vitesse initiale hori-
Données. . l . . s j n il c.-à-d. V^eta,
tg a tangente de l angle
de projection.
r ( X portée.
Inconnues. ] rp j , 1 ^ • ^ ( 1 durée du trajet.
3o LES 'CAS LIMITES DU PROBLEME BALISTIQUE
Ces quatre variables, combinées 3 par 3 donnent les — './ == 4 formules oui suivent :
fj
T=^^tga = — =\/-Xtga.
On a, en plus
Ce sont les formules du point de chute.
On peut encore écrire les formules du point de chute, en mettant en évidence la variable V^, au lieu de u^ ; on a ainsi :
X^ 0 = — sin 2a
T = ^ sin a = -^ = 1/ — X tg a.
g V, cosa V (/ ^
Entre X et T on peut éliminer soit a, soit V^ et obtenir les deux systèmes d'équations qui suivent :
=VJy/i
f/T ^ aV?±2v/VJ-/X^
X=V„TV/i — ^^ ou T- =
X = -^ — cotg a ou T^ = tg a.
On exprimerait les éléments du sommet X^, Y^, T, en
MOUVEMENT DES PROJECTILES DANS LE VIDE 3l
fonction des éléments du point de chute par les formules :
^s = — j ^s=~> ^s = "7rS'^ •
Rabaissement H^ au point de chute étant exprimé par la formule — (/T^ , est égal à 4 fois la flèche de la trajectoire •
26. Formules différentielles. — Les formules différentielles ont pour but de répondre à la question suivante : les conditions initiales cl et V^ du tir sont un peu changées^ ol devenant a + ôa ef V^ devenant V^^ -{-àV : quelles modifications très petites ÔX, dT, ÔA^^, OFg etc.^ subissent corrélativement les éléments du point de chute et du sommet ?
Prenons, par exemple, la portée X dont l'expression
développée est : X = sin a cos a.
Différentiant logarithmiquement, il viendra :
dX 2dV^, / cos a sin a \
X Vy \ sin a cos a /
et la parenthèse se réduit à -
En opérant un calcul analogue pour les autres élé- , ments, on arrivera au tableau suivant :
Formules différentielles du point de chute.
ÔX '1 ÔVo , Si .
X Vo ^ tg-2a
T Vo tg a
Formules différentielles du sommet.
ÔX,
Fig. 7.
Vo
Vo ÔV„
tgaa
da
tga
tga tg a ôa
da
Pour le point de chute, on peut demander encore l'écart bh sur un panneau vertical, dû aux variations ôVo et âa.
Comme on a 3/i = ôX tg a, on arrive aisément à la formule
dh ^ 2A tg a -^TT—
tg '2 a
da.
I 3. — Famille des trajectoires a vitesse initiale
