CONSTANTE

27. Hypothèse. — On suppose que d'un même point O, on lance des projectiles avec la même vitesse initiale V,,, mais sous des angles de projection différents. On obtient ainsi une famille de trajectoires qui jouissent de propriétés communes résultant de ce que, dans l'équation de la trajectoire écrite en mettant V^ en évidence :

7 = a; tg a —

gx'

2\'i cos'"* a ^

a est le seul paramètre variable.

MOUVEMENT DES PROJECTILES DAîîS LE VIDE

Ce sont les principales propriétés de ces trajectoiresque nous nous proposons d'examiner ici.

28. Théorèmes sur les directrices, les foyers et les sommets des trajectoires Vo = const. —

1° Toutes les trajectoires V^ = const. ont même direc-

trice.

Vf

- Ce théorème résulte de la valeur — - trouvée

précédemment (22) pour la distance de la directrice

au-dessus de l'origine 0 de la trajectoire, quel que soit l'angle de projection a.

2° Le lieu des foyers des trajectoires V^ = const. est une circonférence, — Soit F le foyer d'une de ces. paraboles OSco ; soit D'DD" la directrice. D'après la définition géométrique de la parabole et le théorème précédent, on a :

Fig. 8.

FO est ainsi constant et le lieu des foyers F est une circonférence ayant l'origine

pour centre et pour rayon

La tangente à l'origine OT est la bissectrice de l'angle D'OF d'après la propriété connue de la tangente à la parabole.

3^ Le lieu des sommets des trajectoires Fq = const. est une ellipse. — Le sommet de la trajectoire OSto est en S, milieu de la perpendiculaire FD abaissée du foyer

sur la directrice. Soit la droite MN menée au milieu de OD'. On aura : .

SF == — FD = — /'^ — FQ

1 V^ FM = FQ — -- -^

2 ig

d'où SM = SF + FM = ~ FQ

Or, d'après le théorème précédent, on a

ÔQ' + FQ'= (^^

Posant a? = MN = OQ et y = SM, cette relation s'écrira : x^ -{- Ay^ = { —^

C'est l'équation d'une ellipse dont le centre est en N

et qui a pour demi-grands axes — - (horizontalement) et

-j^ (verticalement).

Les équations du n^ 24 permettent d'ailleurs de trouver immédiatement cette ellipse. On a, en effet, les deux valeurs de Yg suivantes :

Y ^ ff X ^ Vg sin' g * 2Vq cos^ a 2g

d'où en éliminant a entre ces deux relations :

2 V 2^ XH-4Y?=^^'Y,.

qui se réduit à la précédente ellipse, par le changement de l'axe des y en posant : x ^ X^ et y = Y^ -r^ .

MOUVEMEîîT DES PROJECTILES DANS LE VIDE 35

Le sommet K de l'ellipse sur Taxe horizontal correspond à la valeur Y- = -7^ d'où sin^ a = —

c'est-à-dire a = — .

L'éloignement maximum OS du sommet S à l'origine 0 correspond à la normale abaissée de 0 sur l'ellipse. Xs, Yg étant les coordonnées du sommet, le carré de OS a pour expression :

ÔS* = XI + Yf = -^ (-^^ + cos^ a) sin^ a

Pour avoir le maximum de OS, on égalera à zéro la dérivée du 2® membre par rapport à a. On obtient ainsi la condition

sin a cos a (2 — 3 sin^ a) = o équation qui, outre les points 0 et D', fournit la solution

sin a = \/ -rr ; c'est-à-dire : a = 54^4 2'-