Théorèmes sur la portée des trajectoires Vo = const

i^ Formule de la portée. — On a :

X = — - tg a ou X = — - sin 2a 9 9

2** Les portées sous deux angles complémentaires sont égales. — Car si on prend un angle de projection

a' = — — a, la formule de la portée X' correspondante sera :

X' = — ^- sin (tt — 2a) = —^ sin 2a = X c. q. f. d. 9 9 ^

3® L angle de portée maximum a^, est égal à ~ . —

C'est, en effet, la valeur 7.,^ = — qui rend sin 2a maximum et égal ai. ^ ^2 La portée maximum X^ a pour valeur Xn, == — ^ . Elle

<est donc le double de la hauteur h due à la vitesse V^ (22) .

4° Le foyer de la parabole de portée maximum est sur taxe des x. — Car le foyer est situé à une dis-

tance — ^ de l'origine et sur la verticale du sommet ;

11 est au milieu de la portée maximum X^ = — ^ .

X tg a ^t Y. = ^ tga = ^tga; d'où H. = 4Y3.

5^ La flèche de la trajectoire Y^ est le quart de rabaissement H^ du point de chute. — Car, on a : H

6° Si du point D' de la directrice

situé à une hauteur — - au-dessus de

■ ^9 l'origine 0, on décrit une circonfé-

rence de rayon — - , la portée sous

l'angle a est égale à la corde de lare 2a.

Cela résulte immédiatement de

la formule X = — ^- sin 2a ; car dans le triansfle

rectangle OAF, on a OP' = AO sin PAO

Fig- 9-

OU

OF = -^ sin oa.

3o. Problème de la détermination de l'angle de projection (Vo =^ const.). — i" Étant donnée la

vitesse Initiale F„ d'an projectile, sohs fjael anrjle doiton le lancer pour atteindre un point donné Â (Démonstration géométrique.)

D'après le théorème du n" 28-2", le foyer de la parabole répondant à la queslion doit se trouver d'abord sur la circonférence D'd de

rayon — ~ , lieu, des foyers.

Il doit aussi se trouver, d'après la définilion de la parabole, sur une autre circonférence ayant A pour centre et tangente à la Fig. m,

directrice D' D".

L'inlersection de ces deux circonférences donne, ea général, deux points F et F', foyers de deux paraboles répondant à la queslion et déterminées par le foyer, la directrice et le point 0.

2" Relation entre les deux anyles de projection. — On appelle ligne de site la ligne O.V allant de l'origine au but. Les tangentes à l'origirie des dcu\ trajectoires qui passent par le point 0 sont telles que Vanr/le formé par [une avec la ligne de site est éijal h l' angle formé par Caalre avec la verticale.

Soient OT et OT' ces deux tangentes : il faut démontrer cpie DOT ^ T'O.V. Or d'après les propriétés des tangentes à la parabole :

OT correspondant au foyer F est la bissectrice de D'OF. OP » F » ]yO¥'.

On a donc :

Dm = 2Dm + FOA = 2iyoT' — foa

et comme FOA = FOA, on a DOT = Dm' — FOÀ; mais D'OT' = T'OF' ; il viendra donc :

DOT = rOF — FOA = TOA

C'est la propriété énoncée. On peut dire : la ligne de ' site OA est la symétrique de la verticale par rapport à la bissectrice des tangentes OT et OT'à l'origine des deux trajectoires.

y Portée maximum sur la ligne de site. — Considérons le but se déplaçant sur une ligne de site OA. Il ne pourra être atteint par un projectile lancé de 0 que si la circonférence AFF' rencontre la circonférence fixe OD'. Le ])roblème aura donc tantôt deux, tantôt zéro solution. Pour une certaine position de A, les deux circonférences AFF' et OD'c/ deviendront tangentes et les deux droites 0 T et OT' se confondront en une seule qui sera la bissectrice de F angle de la verticale et de la ligne de site.

CcUe bissectrice détermine un certain angle de projection (jui donnera la portée maximum sur la ligne de site considérée.

MOUVEMEST DES l'ROJECTII.ES DA>"S LE VIBE

Fig. II

4" Parabole de sécurité. — On désigne sous le nom de parabole de sécurité Tenveloppe de toutes les trajectoires tirées d'un même point 0 avec la même vitesse initiale V^.

Si on considère deux trajectoires quelconques, elles se coupent d'après le théorème du n° 3 0-2**, sur une ligne de site symétrique de la verticale par rapport à la bissectrice de leurs tangentes à l'origine. Si les deux trajectoires se rapprochent indéfiniment, les deux tangentes, à la limite, se confondent avec cette bissectrice et le point M de portée maximum sur chaque droite issue de l'origine sera ainsi un point de l'enveloppe cherchée.

Ce point M est déterminé par la condition d'être également distant de la directrice D'D'' et de la circon-

férence OD'rf, de rayon — — .

Le lieu de ce point M sera une parabole à axe vertical dont on obtiendra la directrice en prenant PQ = OD. On a alors, en effet, OM = MP ce qui définit une parabole de foyer 0. Le sonmiet de celte parabole est en D',

tel que OD' -= — - ; c'est la hauteur due à la vitesse \' .

La parabole coupe l'axe des x en un point I sous

l'angle de -— et la trajectoire de portée maxinmm X,„

lui est tangente en ce point. On a 01 = 20c? = — —. Cette courbe est la parabole de sécurité. ^

^i. Figure résumant les diverses propriétés des trajectoires Vo = const.

32. Trajectoire passant par un point donné : solution algébrique. — j" Le problème de la détcrminalion de l'angle de projection d'une trajectoire (Vo=; const. ) passant par un point donné a reçu ci-dessus (!io) une solution gconictritpic ; tracé d'une jiarabole déterminée par quatre conditions. 11 est utilcde traiter la mèmcijuestiondc manière à donner les formules nlgébriqiit-s propres à résoudi-c et à calculer numériquement les inconnues,

Soient a la distance horizontale de l'origine an point à battre, b la liauteur de ce point au-dessus du plan vertical passnnlpai' le point de départ.

\,'angle de sile cstdélîni par la relation : Igt = — .-

■i" Puisque la trajectoire doit passer par le point dont les coordonnés sont a et b, on devra avoir, d'après l'équation de cette Irajecloire :

i \,j étant supposé donnée, I'

MOUVEMENT DES PROJECTILES DANS LE VIDE /jl

Remplaçant -, — par i -|- Ig- a, il viendra l'équation

du second degré en tg a :

tg

a~<L^tga+ — ^ — +1 =o

qui détermine les deux valeurs suivantes de Ig a :

Si la quantité sous le signe ^ est positive, il y a deux angles a' et a" qui répondent à la question ; si elle est nulle, les deux angles se réauisent à un seul ; si elle est négative, il n'existe pas de solution réelle.

3° Relation entre les deux angles a' et (xJ' . — tg a' et tg a devant être les racines de l'équation du second degré, on aura :

'iV^ I siV- h

tg t! + tg d." = ^ — et tg t! tg a'^ = I H ^- —

^ ' ^ g a DO * g a

relations dont on peut déduire :

tga'+y ^ a ^ .

I — tga tga'' ^ ^ ^ b tge

Donc : tg (a' + a'') tg£ = — i ou tg (a + a') tg ( — e) = i et par suite :

a' -f- a'' — e = — ou a' — £ = ol"

Cette relation fait voir que les deux lignes de projection OT et OT' (fig. lo) sous lesquelles un projectile partant avec une vitesse déterminée Vo atteint le but A, font des angles

égaux T'OA = a' — s = — — a'' = T'OD' avec la ligne

4i LES CAS LIMITES DU PROBLEME BALISTIQUE

droite OA qui va au but et avec la verticale OD'. Par conséquent, elles s'écartent également de part et d'autre de la bissectrice de l'angle D'Oa.

4** Cas oà les deux angles se réduisent à un seul, • — Pour que les deux racines de l'équation qui donne tg a se réduisent à une seule, on devra avoir :

La valeur unique de Tangle de projection, désigné alors

Vf I

par a^, sera : tg a^ = — — •

En la portant dans l'équation de condition ci-dessus et en observant que — = tg e, on aura entre e et a-i l'équation

tg2 ai — 2tg ai tg e = I. Complétant le carré du premier membre (en ajoutant de part et d'autre tg^ e), on aura ' :

tgài=tge+ , ou: sinaicose — sin6COsai = cosai

cos e

ou encore : sm

in (ai — e) = sin {- a J ,

c'est-à-dire que la ligne de projection est la bissectrice de l'angle formé par la verticale et par la ligne de site.

5*^ Portée sur un plan incliné, — La portée X^ sur un plan

incliné de l'angle e, comptée le long de ce plan, est : X, = .

Comme on a : ^^^ ^

6 = a tg a —^ et tg e = —

^ -^V^cos^^a ^ a

on obtiendra :

^^0 tga— tge -^V; sin(a-e)cosa