f- Xi (max) = Xn

Donc un point ne peut être atteint que si la somme de son

altitude b et de son éloignement \/ a^ -\- 6* mesuré sur la ligne de site est inférieure ou au plus égale à la portée maximum Xm sur un plan horizontal. En d'autres termes on

doit avoir : 6 -j- i/ a^ -f 6^ ^ — ^ .

44 lES CAS LIMITES DU PROBLEME BALISTIQUE'

6° Parabole de sécurité. — Ainsi, le plan de projection se trouve divisé en deux régions : Tune contient tous les points de coordonnées (a, b) qui peuvent être atteints de deux manières. L'autre région ne contient aucun de ces points. Ces deux régions sont séparées par une courbe qui répond à Téquation :

ou, en introduisant, au lieu de a, 6, les coordonnées courantes, a? et j :

Cette courbe renferme les points qui ne peuvent être atteints que d'une seule manière. C'est une parabole à axe vertical ayant son foyer au point 0, son sommet au point

— ^ (hauteur maximum du jet vertical avec la vitesse Va) et coupant Taxe des xl\ une distance égale à la portée maximum

Am .

9 , On peut arriver au même résultat par la théorie des enveloppes. L'équation de la parabole de sécurité s'obtiendra en éliminant a entre l'équation de la trajectoire :

j = 0? tg a — ^

îiVj cos^ a

et la dérivée de cette équation par rapport à a qui est :

X gx^ i sin a

cos- a 'iWl cos"* a

et qui se réduit à x tg a = — ^ .

L'élimination donne :

'ig 2 Y;

comme ci-dessus. Chaque parabole particulière (ol donné) touche la parabole de sécurité au point défini par la droite :

La parabole de sécurité est égale et parallèle à la trajectoire dont l'angle de projection a est égal à zéro.

fj^ Portée sur un plan horizontal d'altitude 1. — En faisant y==l dans l'équation de la trajectoire, on trouve pour valeur de la portée Xj sur ce plan, l'équation du second degré

gXi — 2VJX1 sin a cos a -|- 'lYH cos- a = o

d'où on déduit la formule :

Y'i sin 'icL 1 / 'igl I

1° Si / < o, il existe toujours une seule valeur positiie de Xj répondant à la question.

'1^ Si /. > o, il existe deux valeurs de Xi répondant à la question, ou une seule, ou aucune, suivant que / est in- -,férieur, égal ou supérieur à ^j

ig ' Fig. i3.

Pour obtenir la portée maxi-

mum Xi (max) sur le plan j = Z, on formera -^ a après

l'équation du second degré. Egalée à zéro, cette quantité donnera la relation Xi (max) = — / tg -iam qui portée dans l'équation du second degré déterminera l'angle a^ par la relation :

cos '2a„, = y^ I ,

et la portée Xi (max) par la relation :

C'est rintersection du plan / avec la parabole de sécurité.

33. Lieu des points d'éclatement. — On suppose que des projectiles lancés avec la même vitesse initiale Yq sous des angles de projection variables^ éclatent au bout d'un même temps 9. Quel est le lieu de leurs points d'éclatement ?

L'équation de la trajectoire étant :

qx' y = X ig CL — ^

2VS cos^ a

et le temps étant lié à l'abscisse et à l'angle a par la relation x = \^^t cos a, on éliminera a entre ces deux équations. En faisant f = 9, il viendra :

qx^ X— " — ^

qui se réduit à l'équation :

C'est donc une circonférence qu'on peut mettre sous la forme : x^ + Y^ == V;;0% en posant : y = Y ^ ^6^

Le centre est au-dessous de Torigine à une distance égale à la hauteur de

chute verticale — g^^ pen-

dant le temps 0. Le rayon est Vq8, parcours du projectile si la pesanteur n'agissait pas.

34. Exercices. — 1° Enveloppe du cercle, lieu des points d'éclatement quand 6 varie. Rép. : ellipse x^ -\- Sj- = — ^

li** On considère les deux trajectoires conjuguées d'angles de

projection a et -; a. Démontrer que la droite qui joint à

chaque instant les positions des deux projectiles conserve une direction constante : Rép. elle est perpendiculaire à la bissectrice des tangentes à l'origine. Prendre la trajectoire sous la forme : y = Vy/ sin a gt^.

35. Génération des trajectoires de la famille Vo = constante. — Soient deux trajectoires OA^ et OA2 de la famille V,, constante ; considérons sur les tangentes initiales les deux longueurs OK^ et OK^ égales .

On a sur la première trajectoire