Autres familles de trajectoires
37. Deuxième famille. Trajectoires d'angle de projection constant (a = const.). — Dans cette famille, la vitesse initiale V^ varie, tandis que l'angle de projection a reste constant pour toutes les trajectoires considérées.
i*^ Lieu géométrique des sommets dçs trajectoires (a = const,). — Ce lieu est une droite qui partage en deux parties égales les segments compris entre la tangente initiale et l'horizontale de l'origine.
En efiFet, le sommet est défini par les deux équations :
X, =-y tg a Y3 = -^tg^a et l'élimination de u^ donnera : Yg = — - tg a.
2^ D'ailleurs cette proposition n'est qu'un cas particulier du théorème suivant : Toutes les trajectoires OL = const. sont homothétiques par rapport à Corigine et leur rapport de similitude est égal au rapport des carrés des vitesses initiales.
En efiTet, si dans Téquation de la trajectoire
y = xigcL
gx'
aVJ cos'-^ a '
on pose X = [r^j a?' et y = l-^j /
il vient : j/ = ce' tg a
gx
aV'o cos'^ a
ce qui est bien une autre trajectoire (a = const.).
3^ Lieu géométrique des foyers des trajectoires OL = const. — Ce lieu est une droite. On la construit en doublant Tangle a, ce qui donne la droite OB et en
menant de Torigine une perpendiculaire OF à cette droite AB.
On sait en effet que la tangente Oï en 0 à la parabole est bissectrice de l'angle formé par une parallèle Oy à Taxe et par la droite OF qui passe par le foyer.
4^ Lieu des points d'éclatement des trajectoires ^a = const.y — Si entre les deux relations :
X = \J cos a et y = \J sin a gt^^
on élimine V^^ et si on fait / = 8, quantité donnée, il
. viendra : i
y = a? tg a — - ^9^
C'est réquation d'une ligne droite parallèle à la tangente commune initiale; elle coupe Taxe des y au point où, en chute libre, pour V^ = o, le corps serait parvenu au bout du temps 9.
5° Trajectoire qui passe par un point donné (<x=const). — Soient, comme au n^ 32, a et 6 les coordonnées du
point visé ; £ est Tangle de site, tel que tg e == — . On aura, pour Téquation de la trajectoire :
6 = a tga ^ — ,
• 2V0 cos'^ a
équation où V^^ est l'inconnue On en tire : Vf =
ga''
2 cos'^ a (a tg a — b) d'où on peut déduire facilement la relation :
° V 2 cos a sin (a — e)
38. Troisième famille. Trajectoires de vitesse horizontale constante (Uq = const.). — On peut définir une famille de trajectoires par une relation arbitraire/(V^, a] = o entre la vitesse initiale V^ et l'angle de projection a. Une des plus intéressantes est la
famille définie par la relation u^ = V^ cos a = const. \oici quelques-unes des propriétés de ces courbes :
i"^ Lieu géométrique des sommets des trajectoires (a^ = const.). — En éliminant tg a entre les deux relations ul 17-
X, =i^tga et Y, = -Î^tg^a
où Uq doit être considéré comme une constante, on trouve pour lieu géométrique, la parabole
qui est, à l'origine, tangente à Taxe des x.
2'' Lieu des foyers des trajectoires [u^ = const.). —
On sait (22) que la directrice est à une hauteur — ^ au-
dessus du sommet. Le foyer se trouve donc à une dis-
tance — ^au-dessous du sommet. Le lieu des foVers est
alors une parabole égale à la parabole lieu des sommets, mais transportée parallèlement à elle-même d'une quantité — -îl.
3^ Lieu des points d'éclatement des trajectoires (Uq = const.), — Comme on a a? = uj^ le lieu des points d'éclatement au temps 9 est la verticale x = u^^,
4^ Lieu des points ayant même inclinaison ^ sur les trajectoires [u^ == const.). — En éliminant a entre
^ = -^ i^ë ^ - ig i>-) et y = ^(tg^a-tg»
on trouve la parabole : j = a; tg u. +
5° Génération des trajectoires (u^ == const). — La trajectoire étant écrite : j == a? tg a —
