V0COS
OU, en faisant — = tar e
ga
: cos" a
D'autre part :
qa tga— tgT= n -, «
^ ° Vjcos-a
On en déduit :
tga — tgx
2, d'où tg a = 2 tg £ tg T
et d'autre part :
Vo =
cos a
\/ 2 tg£ — IgT
I 5. — Problèmes divers 4i Premier problème. Tir à ricochet. — Soit un
rojectile sphérique lancé du point 0 avec la vitesse initiale
0 sous Tangle a.
La sphère, qui n'est pas supposée parfaitement élastique, revient frapper le plan liorizontal du point de départ en Ai et avec la même vitesse Yq qu'au départ. Elle rebondit et commence une nouvelle parabole, mais avec une vitesse initiale plus petite Y^ et sous un angle de projection plus petit cnx. Elle .frappe de nouveau le sol en Aj et ainsi de suite.
Quelles sont après le n® bond la portée totale iiXn et la durée du trajet correspondante STn ?
Admettons, comme cas intermédiaire entre celui des corps parfaitement élastiques et celui des corps mous, que si une sphère vient choquer une masse rnfiniment grande telle que
Fig. 18.
la terre, avec une vitesse normale u, elle rebondira normalement avec la vitesse ^^v, y\ étant une fraction mesurant Télasticité relative du sol et de la sphère ; pour les corps parfaitement élastiques y) = i ; pour les corps mous 7) = o.
Si la vitesse au choc Vq fait un angle a,, avec le plan horizontal, il suffira de décomposer le mouvement en deux autres perpendiculaires. Dans la direction horizontale, il n'y aura aucun choc; donc la composante horizontale de la vitesse restera constante, ce qui se traduira par la formule Vi cos a^ = Vo cos ao.
Au contraire, dans la direction verticale, on a un choc normal, c'est-à-dire qu'on aura V^ sin a^ = y) Vq sin ao.
Ces deux équations déterminent la direction a^ et la grandeur Vi de la vitesse initiale avec laquelle la sphère rebondissante quitte à nouveau le sol.
Soit alors X^ la n^ portée, entre An i et A^. On a
X'n— 1. riT -'''n — 1. n = sm'2an i In = sma„.
Mais on a, par hypothèse :
Vn i COS aii i =: Vn 2 COS aij^^2 Ct Vji i siu an i = Y) Vn 2 siu Oij^2
On pourra donc écrire :
V ' n— 2 • V . T» ^~2 . rif
Xn=Yl— — Sia'2 3rn 2 = Tl\n i, ln=ri— —SIU 0L^.2 = fil. j,i,
de sorte qu'on aura les formules de récurrence suivantes :
Xn = I^Xq — i Iq =*'n 1(1 — 1
Xn i =10An 2 Tn i = Y,Tn 2
X3 = 71X2 T3 = TjTj
X2 = Y)Xi T2 = Y^ïi
On en déduit :
et pour les sommes SX^ et STn (n variant de i à /i)
SX„ = X, (i + r, + v)^ + ... + r,"-i)
c'est-à-dire :
^v ^'l ^^" '^*« i —ri'' -iVo sin a„ i -
>Xn = --; lin
Théoriquement, la sphère rebondira sur le sol en décrivant un nombre inGni d'arcs de parabole ; mais cependant, la portée totale SX^ de l'origine au point où le corps revient au repos complet, et le temps total ÎT^ seront finis.
En elï'et, puisque r\ est une véritable fraction, pour ;i= oo , on a lim. Tj" = o et les formules deviennent :
Sa = — — sin 'loio
il = sin ao
42. Exercice proposé. — La pelote basque. — D'un point A, la balle est lancée avec une vitesse V„ constante, mais sous des angles a variables ; elle rebondit sur un mur vertical. Etant imparfaitement élastique, sa vitesse horizon-
taie «, normale au mur, devient r^u, r^ étant une fraction comprise entre o et i .
Quelle sera la trajectoire de la balle après le choc ? Sous
3uel angle doit-on la lancer pour qu'elle revienne au point e départ ?
