Deuxième problème. Tir sur but élevé
Dans la pratique du tir, lorsqu'il s'agit d'atteindre un but qui n'est pas sur Ihorizon de la pièce, on applique souvent
le procédé désigné sous le nom de principe de la rigidité de la trajectoire.
Si M est le but situé à la distance OM = D de l'origine 0 et si e est ï angle de site, pour atteindre M, on donnera à la pièce une inclinaison a + £» a étant l'angle de projection correspondant à une portée horizon- »g- »9. taie égale à D.
On a donné (3'2-.a*^) la formule exacte qui permet de calculer le véritable angle de projection à employer ; cette formule est :
Nous chercherons ici à quelles erreurs conduit la méthode de pointage employée en pratique et définie ci-dessus.
Supposons donc que le but se déplace sur une circonférence de centre 0 et de rayon D. Il est vu ainsi successive-
ment sous tous les angles de site ; e variera de o à — pour les angles positifs et de o à pour les angles négatifs.
JL
L'angle de projection pour chaque position du but est a + £ ; a est une constante, qui définit l'angle de projection auquel correspond une portée égale à D, quand e = o.
Cherchons le lieu géométrique des points de chute N de
zr^^^. -
MOUVEMENT DES PROJECTU.ES DANS LE VIDE 6l
chaque trajectoire a -}- e sur la ligne de site correspondante s. A cet effet, il suffira d'éliminer e entre l'équation de la ligne de site j = ce tg s, et l'équation de la trajectoire :
On obtient aisément la formule
j=a:cotga — -^
2V5 sin^ a
Donc, le lieu géométrique cherché est la parabole de même
portée que la trajectoire ol. Cest la trajectoire d'angle — — a.
Quand on visera le point M, l'erreur sera la distance MN, N étant le point de chuté. La parabole ci-dessus et le cercle de rayon OD se coupent en quatre points, dont deux au moins Mo et M.i sont réels. Cherchons l'intersection de la parabole, Heu des points N et du cercle
En coordonnées polaires p et e, la parabole s'écrit :
aV^ sin a / , x
P = — cos (s + a)
g cos^ £ ^ 1 /
et le cercle p = — 5 sin aa.
On aura alors, pour déterminer s la relation :
cos a cos^ e = cos (e + a) .
Si, après avoir développé |et élevé au carré cette équation, on supprime le facteur cos e = i, qui correspond au point Mo, on arrive à la formule :
cos^ s — cos^ £ + cos e tg2 a -f- tg2 a = o ^
* On peut encore écrire cette formule : tg a = cas £ ts — *
équation du troisième degré qui détermine les points M| M2 et M3.
Afin de discuter les cas de réalité des racines, cherchons la condition pour que M^ et M2 coïncident ; e^ et £3 étant alors les valeurs de deux racines, dont l'une £12 est double, on aura :
(COS e COS 612)* (COS £ COS 83) = o.
En développant et identifiant avec l'équation du troisième degré, il viendra :
1 COS 6^2 + COS £3 = I
COS^ £12 + '-i COS 6^2 COS £3 = t
— COS £3 COS- £12 = tg- a'.
De ces trois équations, à trois inconnues £12, £3, a' on déduit
COS £j2 = '—^ £i2 = 5l°, 49^ ^^^"
(points Ml M2 réunis)
COS £3 = r=r- £3 = JO'', KY , /| \'
(point M 3)
tga^=I i/^^l—lï. a'= i6% 4-y, 5i^' ^ . 2 V 1/5-4-3
(valeur de a correspondant à la réunion des points 1,2.)
Fig. 20.
On peut alors discuter complètement le problème :
Premier cas : a < a'. — Les 4 racines sont réelles et distinctes o, £1» £>j £3*5 les points Ml et M2 sont distincts. On peut former le tableau suivant :
— Si
Sens des coups.
y Le tableau suivant donne les valeurs des i racines s^ et z^ pour diverses valeurs de a ; elles proviennent de la résolution de l'équation du troisième degré qui donne cos e.
Si —
5io 5o
Deuxième cas : a = a'. — Les points Mj et M2 sont confondus. La
TZ
parabole d'angle ( -; a 1 est tangente à la circonférence au point M|2. Les 3 racines sont o, s^o, £3.
On a alors le tableau suivant.
Fi
< £ia
>ei2 <
Sens des coups.
On a
LES CAS LEtflTES DU PROBLEME BALISTIQUE
Troisième cas : a > a'. — Les points M^ et M^ sont imaginaires. La parabole ne coupe plus la circonférence qu'aux points Mo et \f 3.
Le tableau du sens des coups est le suivant.
Sens des coups.
44. Exercices proposés. — i. Un point pesant est lancé d'un point 0 avec la vitesse Vq ; déterminer l'angle de projection a de manière à rendre niaximum la distance du point o au point de rencontre du projectile avec un plan horizontal situé à la hauteur / au-dessous du point de départ.
On trouve
cos la
yi+gi
2. Soient un plan incliné de l'angle i sur l'horizontale, OA une ligne de plus grande pente et ON une normale de ce plan. Du point 0, on lance dans le plan AON un projectile qui fait un angle (^ avec OA. Calculer : 1° l'angle cpi, qu'il fait avec OA au premier point de chute sur le plan; '1° l'angle cpn qu'il fait après avoir rebondi (n — i ) fois, en supposant le plan parfaitement élastique. Montrer que la vitesse suivant ON est la même à l'arrivée qu'au départ.
(OA et ON étant pris pour axes, on trouve cotg cpi = cotg 9 + 2 tg s).
^. Est-il possible, du sommet de la pyramide de Chéops, de lancer à la main une pierre qui puisse atteindre le sol sans toucher le côté inclii^é de la pyramide ?
(La hauteur de la pyramide est l'^'j^,! ; la longueur d'un côté du carré de base est 2 a [7"*, 5 ; la vitesse initiale avec laquelle on peut lancer une pierre à la main est de 2 5™ par sec.)
4. D'un point A d'une verticale, on lance verticalement un proiectile avec une vitesse Yq. D'un point B de la même verticale on lance verticalement un autre projectile, un temps 9 après le premier et avec la vitesse Y'o. Quels seront leurs points de rencontre ?
5 . Démontrer géométriquement la propriété du n** 4 ^ * le lieu des points de chute sur une droite inclinée de l'angle de site e quand on tire avec un angle de projection a -f- e est
la parabole d'angle de projection I- a] . (a est supposé
constant ; e est variable.) \ '^ /
