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0,0*^234 o,oM68

Dans la colonne et est la fonction S{v) ; dans la colonne ex est la fonction D(i^). Par de simples additions ou soustractions, on saura ainsi résoudre les différents problèmes qui pourront se présenter en pratique.

49- Théorèmes. — Les théorèmes qui suivent résultent immédiatement des formules établies ci-dessus.

1^ Si deux projectiles de coefficients balistiques c et c' sont lancés avec une même vitesse initiale V^, les parcours X et x' et les temps t et t au bout desquels leur vitesse sera devenue v sont inversement proportionnels à leurs coefficients balistiques : ex == dx' et et = e'i .

2^ La table de la fonction *D(î^) donne, pour chaque

vitesse, dans la colonne ex le chemin nécessaire au projectile de coefficient balistique égal à Tunité pour perdre un mètre de vitesse.

3** Propriété analogue pour le temps dans la colonne et.

5o. Fin du mouvement. — Nous supposons que F(i^) est une fonction continue^ essentiellement positive et croissante avec v jusqu'à l'infini. Pour u = o, la fonction F(t^) tend vers une limite finie qui peut être o.

Considérons, à partir de l'origine V^, le temps total T écoulé et Vespaee total X parcouru lorsque la vitesse v sera devenue égale à zéro. F(î;) est une fonction décroissante avec V et cette dernière quantité décroît quand t

augmente, en vertu de la relation -7- = — cF(i'^, où' le second membre est négatif.

Soit n un exposant tel que v~^F(v) ait pour limite une quantité finie quand v tend vers zéro. Cela revient à poser, dans le voisinage dev = o : F(v)=v^ [a-\-b^(v)]^ la fonction ^(v) tendant vers zéro avec v ; on aiira ainsi le développement de F(t') suivant les puissances de v au voisinage du point v = zéro.

Soit v^ une vitesse assez voisine de zéro pour que le développement précédent s'y applique ; le temps /, mis pour aller de V^ à v^^ ainsi que l'espace x^ sont finis, puisque dans ces limites, le dénominateur F(y) des intégrales ne devient pas nul.

Entre v et v^^ on aura :

/»" rfu r"" dv I

^ X, F{v} X, av"" a n

"Wy) /'^ dv

^n-l yu-i

r vdv) r dv i i i i

'^~X, F(v) "^J,, au'^-^'^â n — 2\j)^'~vf-\

Faisons tendre maintenante vers zéro.

Différents cas • se présenteront suivant la valeur de Fexposant n qui doit être supposé d^ailleurs ^ o d'après l'hypothèse faite sur la fonction F(v).

Ils sont résumés dans le tableau suivant :

fini fini

fini

5i. Origine du mouvement- — Supposons maintenant que le projectile soit lancé avec une vitesse initiale Vq infinie et cherchons si, pour atteindre une vitesse v finie, le temps U et Y espace x^ seront finis ou infinis. Le raisonnement sera le même que dans le cas précédent, en posant pour de très grandes valeurs de V :

F(f) == v^'[a' -\- b'^[v)]^ l'exposant n! étant tel que i)~"'F(i') ait une valeur finie pour v == 00 .

On aura donc les mêmes formules que dans le cas précédent, c'est-à-dire :

et =-7- -7 —

rn' — 1

Vn' - 2

On fera alors V^ = 00 dans ces formules, et, suivant les valeurs de n\ on pourra dresser le tableau suivant :

fini

. fini

fini fini

02 . Exemples. — Supposons que la fonction F(i') puisse être mise sous la forme d'un polynôme ordonné suivant les puissances ascendantes de r :

F(v) = koV" + Aiv^- * + .. . + KfV""' ^ n' > n-

1° Pour que la trajectoire du projectile depuis \q= co jusqu'à V = 0 soit finie, il faut que n soit plus petit que 2, et que n' soit plus grand que 1.

Par exemple : F(v) = XqV (i + bv-).

1° Pour que le temps, de Vq = qo à r = o, soit fini, il faut que n soit plus petit que i , et ai' plus grand que i .

Par exemple : F(i;) = A -|- 61»^

3^ Enfin pour qu'à la fois le temps et l'espace soient finis, il faut que « < 1 et n' > 2 .

Par exemple : ¥(v) =za -{- bv^ -\- cv^.

4° A remarquer le cas i < n' < '2, où l'espace x» est infini tandis que le temps t^o est fini.

Discussion du mouvement

53. Courbe (v, ex). — Pour se rendre compte plus aisément des propriétés du mouvement rectiligne horizontal, construisons une courbe eiï prenant pour abscisses

les vitesses i» et pour ordonnées les produits ex. Comme on a : ex =. d(v) — 'D(y^^ cette courbe représentera la fonction D(v).

Tout d'abord cherchons les tangentes aux deux extrémités de la courbe. On a pour la tangente en un point quelconque :

cdx V

~dV "" ~" Y{v) '

Cette expression se présente sous la forme — pour V = o (à moins que F(î;) ne renferme une constante, auquel cas : lim —^ — = o) . Pour r = oo , elle se présente

sous la forme .

Donc dans les deux cas on aura :

cdx

lim.

dv J ~ Y\v) '

\^ Tangente au point S om d = o — n étant comme précédemment Fexposant qui convient à la fonction F(v). dans le voisinage de v = o, on aura : F^(v) = nv^ ~ *. Donc, pour v = o :

si n — I > o la tangente en S est verticale ' n — I =:= o » inclinée

n — I < o » horizontale.

2® Tangente au point Q oùv = 00. — n' étant dans le voisinage de u = 00 l'exposant qui convient à la fonction F(î^j, on aura F'(i') = aiV" ^ Donc, pour i; == oo :

si Al' — I > o la tariffente en Q est horizontale

inclinée verticale.

y Les formes de la courbe [v^cx] . — D'après la discussion précédente, on peut distinguer un certain nombre de types de courbes (v^cx) différenciées par leur allure aux points o et oo. D'ailleurs les formes en ces deux points sont totalement indépendantes Tune de l'autre, de sorte qu'on peut combiner une forme du premier tableau avec une quelconque du second.

pr Tableau

n»û n<i n^i n<z ri'Z n>z S S

\ Bn du ynauvement 1 v=o

2 '.Tableau

ex \cx

Origmeâu ^mouvement

sOO

Fig. 24.

4® Remarques. — a) Les courbes réunies par une accolade ne diffèrent point essentiellement comme formes. Il y a donc seulement quatre formes distinctes pour chaque tableau, soit au total, en les combinant de toutes les manières, seize formes de la courbe totale, de v = oo k V = o.

8o LES CAS LIMITES DU PROBLÈME BALISTIQUE

b) Quand ai == o, l'équation cdx = -, — est celle

d'un mouvement uniformément retardé d'accélération cA; ; la courbe (u, ex) est, vers le point S, une parabole.

c) Lorsque les courbures au point S (u = o) et au point Q (v = oo) sont opposées, les courbes présentent un point d'inflexion, ou un nombre impair de ces points. Si elles ont des courbures de même sens aux points S et Q elles présentent zéro ou un nombre pair de points d'inflexion. Dans tous les cas ces points correspondent aux racines de l'équation :

F{v) — vF\v) = 0 ■

cd'x qui annule la dérivée seconde , ^ .

Ce sont les points où la fonction F (y) devient proportionnelle à la simple vitesse.

54 • Fonction D(v). — Les courbes précédentes représentent la fonction D{v) dont la définition est

, ^ r^ vdv

Si la courbe est finie dans un sens ou dans l'autre, on peut prendre pour vitesse V, origine de la table, soit V = o, soit tJ = 00 suivant le cas. Mais dans le cas où Al :^ 2 et Al' ^ 2, on ne peut prendre le point de départ des tables à ces extrémités naturelles et on choisit arbitrairement une vitesse V, pour laquelle on donne une valeur arbitraire à la fonction D. La soustraction qu'indique l'opération :

ex = D(i>) — D(V,)

MOUVEMENT RECTILIGNE DA^S UN MIUEU RESISTANT 8l

fait disparaître et l^arbitraire de la vitesse Vet l'arbitraire de la valeur initiale de la fonction D{V).

55. Courbe (v, et). — La courbe des temps et en fonction des vitesses, c'est-à-dire la fonction S(t') se discutera d'une manière analogue. On trouve les types de courbes suivantes : "

Tl'ioUTl^f ,

J«"TaUeau/c/

Fi'n du mouvement

Fig. 9.).

S^'Tableau Ict

Origine du mouvement

Fig. 26.

56. Cas de F(v) = BnV*^. — Dans le cas d'une résistance F(v) proportionnelle à une puissance n de la vitesse, les deux intégrales S(v) et D(v) s'expriment aisément au moven de fonctions connues.

OA a en efl'ct :

yn - 1 J

V est une vitesse quelconque, qui peut, dans ces formules explicites, être la vitesse Vq elle-même.

On peut, au moyen de ces formules générales, établir les formules particulières suivantes, où on a donné à n diverses valeurs.

bnt

Logl«

2 U« V|lJ

bax

-Av' V*J

n I [ un-l V»-* J

La notation b^ est mise pour cB„.

Espace en fonction du temps. — Dans les formules du cas de F{v) = hn^^ qui donnent t et a*, il est très aisé d'éliminer la vitesse v et d'obtenir une formule générale entre les deux variables x et t. C'est la relation :

Lv?-'

Pour diverses valeurs de ri, on obtient les équations suivantes :

o .x = \Qt — — bot^

Yo — biX

57. Développement en série. — Dans le problème du mouvement rectiligne horizontal, figurent 3 variables, la vitesse v, l'espace parcouru x, le temps t

On peut prendre pour variable indépendante Tune quelconque d'entre elles Mais si dans le cas de F(v) = Bnr>" le problème est soluble par des formules explicites, il n'en est pas de même dans le cas de F(i;) quelconque : a; et / s'expriment facilement en fonction de v par le moyen des fonctions D(u) et S(v), mais on ne peut donner par exemple la relation f{x, t) parce qu'entre les deux fonctions D et S on ne peut éliminer la variable v.

On est alors obligé de recourir à un développement en série. Il existe 6 développements, chacune des 3 lettres i;,^, a? pouvant être associée aux deux autres.

Soit ^ un élément quelconque dont on veut le développement par rapport à un autre $. On posera 5 = So — (So — S) et la formule de Mac Laurin donne immédiatement la série :

{l,-lf /d%

C£„ — £l5 fd^Z\

(^„ — ?)' fdK