Exercices

1° Etablir ks quatre autres développements en série de la théorie du tir rectiligne horizontal, à savoir ceux qui renferment la vitesse v comme variable ou comme inconnue.

+ ^(VoF:-F„)-fl ^ L+3FJ

'•) ^= ^(Vo — ") —

I F, — VoF; (V„ — t.)^

, r+V„F„FM/v„t,y.

FI — 'iVoF'^ ^ ■'

5) v=V„ — cFo< + c^F„F'

c«Fo (f;-2 + FoF;o

I I F^ {\,^vf I (F;^Fo-.F:^) (Vo-t;)3

cFo^ ' "^^"^cFf 1.2 c F? 1.2.3

•2^ Appliquer au cas de F(v) = B^u", et arriver aux formules suivantes :

30 i;=Vo~6nVr^^ + ^tJVf-3x2+"^±^^^^^

6„vr'

n—i(\o — v) , n(n—i)(\o — vf

Vo-v

3® Déduire les formules 4) et 6) des équations ca;= D — Do et c^ = S — So en développant les fonctions balistiques D et S. [On pose v == V© — (Vo — v) et on applique aux fonctions D et S le développement de Taylor avec Y© — v comme argument.]

4*^ Déduire les formules 4Q et 6') des formules du n° 56 en posant i; = Vq — (Vq — v) et appliquant la formule du binôme.

5° Toutes les fonctions ne sont pas d'un degré qu'on puisse déterminer comme il a été dit précédemment (5i) ; il est des fonctions pour lesquelles la limite v~^F(v), quand V converge vers rintini, est toujours nulle ou infinie, quelle que soit la valeur de n que l'on veuille adopter (de Saint- Robert) .

Telles sont les fonctions A Log v, Ae"^", etc.

1° Démontrer que si F(y) = A Log v, on a toujours /ao = Qo et Xoo = 00 , pour v = 00 .

'1^ Démontrer que si F(î;) = Ae"*", on a toujours U et Xao finis pour i; == oo et que de plus, la trajectoire tout entière de v = 00 à v = o est finie.

6° Formules différentielles du mouvement rectiligne horizon^ tal.

cdx -\-xdc = p- H p —

COt -f- toc = ï^ YT-

Si X est connu, par exemple, les variations bv et ht des deux autres variables sont données en fonction de de et dVo par les formules.

vbv VoôVo

F — Fo

— xèc

fwy^v

Démontrer que le facteur /est toujours positif.

7° Mouvement rectiligne d'un point matériel non pesant soumis à une résistance exprimée par la formule

R=K(e»'''— i) (Formule proposée par M. Page, Revue d'artillerie.)