RÉSISTANT

I I. — Mouvement vertical ascendant

59. Mouvement dans le vide. — Soit 0 Torigine du mouvement et OY la verticale que décrit le projectile lancé du point 0 avec la vitesse V^. L'espace y parcouru sera compté positivement de bas en haut, c'est-à-dire dans le sens du mouvement.

L'équation différentielle du mouvement étant :

on aura

dv

On en déduira facilement, entre les trois variables y, v et t^ les trois équations suivantes :

^ = Vo — ^f; y = ^ot—-9t'; y ^^

Le projectile monte jusqu'au sommet Ts,Ys où on a V = o- T = — • Y ^

On a encore : Y^ = -^^— ^ .

L^expressîon de t en fonction de y est la suivante :

6o. Mouvement vertical ascendant dans Tair.

— La résistance de l'air représentée par la fonction F(d) s'opposant toujours au mouvement, on aura comme équation différentielle du mouvement ascendant :

dt'

— cF{v) — g.

y est ainsi compté positivement de bas en haut, dans le sens du mouvement.

dy Comme on a v :=: -j- , on pourra intégrer et obtenir

le temps t par la formule suivante :

dv

ct =

L'intégrale est prise à partir de la vitesse initiale V^,,, pour laquelle on suppose ^ = o.

On aura ensuite pour la hauteur y, entre les mêmes limites et avec l'hypothèse y = o pour v = \q :

cy = —

Ces deux intégrales sont la généralisation des fonctions S (i') et d(i>) trouvées précédemment (48) , auxquelles elles se réduisent d'ailleurs pour g = o.

Comme on peut les écrire :

vdv 97 = —

cF{v)

elles sont également la généralisation des formules du vide du n*^ 69 auxquelles elles se réduisent si on fait

cF(v) = o.

Posons :

On aura :

et = s;» — SS ; cy = A^» — AJ

Moyennant le calcul fait une fois pour toutes des tables des fonctions S^ et A^ en partant de la fonction F(v) expérimentale, on aura la possibilité de résoudre numériquement les problèmes du tir vertical de bas en haut. Ces tables sont à double entrée et auront pour argu-

Q ments v et -^ .

A la valeur -^ = o de cette table, correspondent les fonctions S{v) et D(i^) de la théorie du tir horizontal. Pour la valeur ~ = 00, les fonctions S et A sont infi-

iw~ — ''V-

nies; mais cette condition exige que c = o. On se trouve donc dans le cas du vide et les vraies valeurs

des intégrales sont t = — (V^ — i^) et j = — ( Vq — v^)

ainsi qu'on le reconnaît par la deuxième forme sous laquelle on les a mises.

61. Discussion du mouvement vertical ascendant* — D'après l'équation différentielle

la dérivée -j-^ ' est constamment négative ; la vitesse

dt dv

'dt

décroît constamment : elle s'annule au point culminant, où on a

CT3 = So^o et c\\ = Ao^».

Si la vitesse initiale V^ est finie, le dénominateur des fonctions S et A ne devient jamais infini ; donc T^ et Yg sont finis. Mais si la vitesse initiale est infinie, la résistance c¥(v) qui devient infinie en même temps que f , est infiniment grande par rapport à la gravité ^, de sorte que, pour la recherche des valeurs limites, les fonctions S et A se confondent avec les fonctions S et D. Le temps et l'altitude, dans le cas d'une vitesse initiale infinie, seront donc finis ou infinis dans les mêmes conditions que le temps et le chemin parcouru l'étaient dans le mouvement horizontal (5i).

« Il en résulte que si la résistance de l'air suit une « loi d'un degré supérieur au carré de la vitesse, il « pourrait, suivant la grandeur du coefficient balistique.

c( y avoir, entre les bornes mêmes de l'atmosphère ter- (( restre, une hauteur limite au delà de laquelle nos (( armes à feu ne pourraient plus lancer de projectiles, « tout en admettant des moyens de projection très puisce sants et même capables d'imprimer au projectile une « vitesse initiale infinie » (de Saint-Robert, t. I, p. 54.)

« A l'instant où i; = o, la résistance, en vertu de sa « nature cesse d'agir et le mobile qui n'est plus sollicité « que par la pesanteur tend à descendre, et descendra c( effectivement si la résistance qui reprend son action (c dans le sens opposé, peut être vaincue par le poids (( relatif du mobile.

<( Arrivé donc à sa plus grande hauteur, le mobile (c retombera si cF(vj qui exprime la résistance, acquiert « pour u = o, une valeur inférieure à ^ ; il s'arrêtera « au contraire si pour v = o elle prend une valeur ^ ^. » [loc. cit., p. 5i.)

Ce dernier cas ne peut se produire évidemment que si F(v) contient un terme indépendant de d, donnant naissance à une résistance de frottement. La suspension presque indéfinie dans l'air des corpuscules très légers s'explique par le fait de la grandeur du coefficient balistique c de ces objets, et de la présence dans F(i^) d'un terme de frottement de l'air, aussi petit qu'on voudra si c est suffisamment grand, c'est-à-dire si lé poids do l'objet est suffisamment petit.