Exercice. — Au lieu de considérer les fonctions
cy = A et c< = S, on pourrait considérer les fonctions
f vdv I dv
I ^ et gt = ^
Étudier et discuter les courbes et les tables à double entrée qui leur correspondent.
I 2. — Mouvement vertical descendant
64. Mouvement dans le vide. — On prendra la verticale dirigée de haut en bas pour axe positif des y, c'est-à-dire dans le sens du mouvement : la vitesse initiale est Vq.
L'équation différentielle étant alors :
d'y dt' ~^'
on en déduira les trois équations :
Les trois variables f, u et j croissent sans limite. En fonction de yt^ s'exprime par la formule :
, — Vq + y/VS — 2>7y
65. Mouvement vertical descendant dans l'air. — Adoptant la même convention que dans le vide, c'est-à-dire * comptant les y positivement vers le
bas, dans le sens du mouvement, Téquation différentielle s'écrira :
^ = -cF(.) + ,.
Le second membre est formé de deux termes, Y accélération de la pesanteur ^, qui tend à augmenter la vitesse, et la résistance de lair cF(u) qui tend à la diminuer.
Intégrant, comme au n° 60, on arrivera aux équations :
ct=zV — Z\\ cy=ty'— Vv ^n posant :
dv i vdv
Sv
FW-f Jv F(.)-|
V étant une vitesse arbitraire quelconque.
lions permettraient de résoudre les problèmes du tir vertical de haut en bas. Elles seraient calculées avec la fonction F(v) expérimentale.
On peut encore faire l'intégration sous la forme :
9^=- I -:;ïv;;^ ^^ 9^ =
66. Théorème. — La vitesse v acquise par le projectile tend vers une limite finie.
En effet, si v tendait vers l'infini, il en serait de même de la fonction cF(v). Il arriverait donc un moment où
on aurait cF(v) > ^r, c'est-à-dire que —y- serait négatif;
la vitesse v décroîtrait alors, sa dérivée étant négative v Il n'est donc pas possible que v tende vers l'infini, à moins naturellement que c = o (cas du vide).
67. Discussion du mouvement vertical descendant. — Trois cas sont à distinguer : '
Premier cas. — La vitesse initiale V^ est telle que Le second membre de l'équation
sera positif à l'origine du ^mouvement et la vitesse v
croîtra jusqu'à ce que la dérivée --7-- s'annule, ce qui
aura lieu lorsque la vitesse sera devenue égale à une certaine vitesse v\
Il est facile de démontrer que la vitesse v ne deviendra égale à v' qu'au bout d'un temps infini et après un parcours infini. Posons, en effet, au voisinage de la vitesse maximum v\ l'identité v = v' — (y' — v) : (v' — v) est, par hypothèse, une petite quantité.
On écrira :
ct =
^* Le point v' étant un point quelconque de la fonction
F(u), celle-ci sera développable autour de ce point par la formule de Taylor ; si on la réduit à ses deux premiers termes, F(i'') disparaît comme égal à — et il reste :
Quand v tend vers v', le second membre tend vers oc ; t devient donc infini. Une démonstration tout à fait analogue s'appliquerait à j.
On désigne la vitesse v^ sous le nom de vitesse terminale \ C'est la vitesse qui correspond à l'équilibre du corps, accéléré d'une part par son poids, retar,dé d'autre part par la résistance de l'air. Elle est définie par l'équation cF(i'') = g.
On remarquera que ce premier cas suppose qu'on puisse poser cF(Vy) < g et^que, par suite, la vitesse V,, peut être choisie assez petite pour que cette inégalité soit satisfaite.
Deuxième cas. — La vitesse initiale V^ est telle que
cF(V„)>5f.
Dans cette hypothèse, qui, au contraire delà première,
dv est toujours réalisable, -7— est d'abord négatif; la vitesse
* « Un corps en tombant à travers l'air, augmente continuellement sa « vitesse mais toutefois en sorte qu'il n en peut jamais excéder ni même (( atteindre un certain degré ; qui est la vitesse qu'il faudrait à l'air souf- « fler de bas en haut pour tenir le corps suspendu sans pouvoir des- (( cendre ; car alors la force de l'air contre ce corps égale sa pesanteur. « J appelle cette vitesse pour chaque corps, la vitesse terminale, w Discours de la cause do la pesanteur par Huvghens, cité par de Saint-Robert, tome 1, page 00. .,
rf^
décroît. Un raisonnement calqué sur le précédent fait voir que la vitesse continue à décroître jusqu'à ce qu'elle atteigne la valeur v' de la vitesse terminale telle que cY{v') = g. Cette valeur n'est d'ailleurs atteinte qu'au bout d'un temps infini et pour un parcours infini.
La vitesse terminale v' peut être nulle ; cela arrivera si la fonction F(u) renferme un terme constant a indépendant de la vitesse et tel que ca > g. Mais dans ce cas ni le temps ^ ni V espace parcouru ne deviendront infinis. quand le projectile s'arrêtera. On pourra en effet écrire l'équation du mouvement :
l.= (ca— (/) — c'|(i;),
de sorte que si ca > g on se trouve dans le cas des équations du mouvement ascendant^ la gravité g étant remplacée par ca- — g.
Le projectile s'arrêtera donc, la résistance de frottement du milieu étant supérieure au poids . Si ce projectile avait été lancé de bas en haut on aurait eu pour équation :
^ = (ca + jr) — c^{v) ;
arrivé au haut de sa course, il ne serait pas retombé
Troisième cas, — La vitesse initiale V^ est telle que
Dans ce cas, le mouvement descendant est rigoureusement uniforme et l'équation — j- == — c¥(v) -i- g se trouve à chaque instant satisfaite.
lOO LES CAS LIMITES DU PROBLEME BALISTIQUE
